Тепловые свойства твердых тел

2.7 Фононные спектры в кристаллах 

Энергетические спектры фононов в реальных веществах, как правило, очень сложны и 

для  их  описания  необходимо  знать  детальный  вид  поверхностей  постоянной  частоты 

 в зоне Бриллюэна для всех ветвей спектра. Поверхности постоянной частоты 

определяют  очень  важную  характеристику  фононного  спектра  −  функцию 

 спектральной плотности фононов, которая задает число волн, или мод, приходящееся на 

интервал  частот  от 



  до 



+d



.  Если  обозначить  количество  волн  в  спектральном 

интервале 

 через 

dn

,  то  спектральная плотность колебаний  одномерной  моноатомной 

цепочки определяется формулой 

, 

(5.63) 

где 

N

  −  число  колеблющихся  атомов, 

−  максимальная  частота  колебаний  в 

спектральном интервале. При низких частотах 

 пропорциональна 

, а вблизи 

 функция

  D

(



) имеет особенность корневого типа. 

При  наличии  нескольких  ветвей  дисперсионных  кривых,  как  это  имеет  место  для 

реального кристалла, где число базисных атомов равно 

r 

и общее число ветвей колебаний 

3

r

, плотность состояний определяется суммой 

. 

(5.64) 

На  рис.  5.13  показаны  кривые  спектральной  плотности  фононов  для  продольной  и 

поперечных  ветвей  и  суммарный  спектр  для  алюминия.  Значения  частот,  при  которых 

кривые 

 имеют резкие перегибы и острые пики, называются критическими точками 

или 

сингулярностями  Ван  Хова

.  Этим  значениям  частот 



  соответствуют  нулевые 

групповые  скорости 

волн  в  некоторых  направлениях.  Параболический  характер 

фононного  спектра  при  малых  частотах  аналогичен  спектру  колебаний  атомов 

одноатомной  одномерной  цепочки  при  малых  частотах.  Плотность  состояний  в  этом 

случае имеет вид 

. 

(5.65) 

Резкий  максимум  на  суммарной  зависимости 

D

(



)  может  быть  связан  с 

максимальной  частотой  некоторых  типов  фононов.  В  кристаллах  со  сложной 

многоатомной  решеткой  подобные  особенности  спектра  могут  быть  связаны  и  с 

оптическими  ветвями  колебаний.  На  рис.  5.14  изображен  фононный  спектр  кристалла 

кремния, где функцией является коэффициент оптического поглощения. 

Резкие максимумы на представленной кривой связаны с возбуждением различных мод 

колебаний атомов кристалла кремния. 

 

Рис. 5.13. Спектр колебаний в решетке алюминия [59] 

 

 

Рис. 5.14. Вид фононного спектра в кристалле кремния (Si) [88] 

 Знание  фононных  спектров  необходимо  для  анализа  и  расчета  многих  физических 

свойств  твердых  тел  −  оптических,  тепловых,  электрических  и  т.  д.  В  экспериментах 

определяют  дисперсионные  кривые  продольных  и  поперечных  волн  в  направлениях 

высокой  симметрии.  Затем  эта  информация  используется  для  численного  расчета 

плотности  состояний 

.  При  интерпретации  спектров  колебаний  очень  важным 

этапом является анализ критических точек. 

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: