Зависимость молярной теплоемкости от

T

, K 

 

 

, Дж/(моль·K) 

по формуле 

(6.20) 

по общей 

формуле 

(6.18) 

1 

5,26



10

-13

 

799,3 

1,055



10

-8

 

1,05



10

-8

 

5 

3,5



10

-3

 

32,0 

2,8 

2,8 

10 

5,9



10

-2

 

8,0 

11,8 

13,3 

100 

7,5



10

-1

 

0,08 

1,5 

24,77 

200 

8,7



10

-1

 

0,02 

0,4 

24,9 

300 

  

  

  

24,92 

400 

  

  

  

24,93 

500 

  

  

  

24,936 

600 

  

  

  

24,938 

 Таким образом, в приближении Эйнштейна теплоемкость приближенно равна 

 при 

комнатных и более высоких температурах и убывает при понижении температуры. Тем не 

менее,  строгого  согласия  с  экспериментом  в  этой  модели  Эйнштейну  достигнуть  не 

удалось.  Как  уже  отмечено,  теплоемкость  диэлектриков  убывает  с  понижением 

температуры по закону 

, а металлов − линейно, тогда, как в приближении Эйнштейна 

это убывание совершается по экспоненте (рис. 6.3). 

 

 

Рис. 6.3. Зависимость теплоемкости от температуры для меди [59]:  

1 − экспериментальная кривая; 2 − рассчитанная по формуле Эйнштейна  

 Температура 

,  при  которой  начинается  быстрый  спад  теплоемкости,  называется 

характеристической  температурой  Эйнштейна

  и  определяется  из  соотношения 

. Реальная температура Эйнштейна 

 зависит  от  вещества.  Для  большинства 

твердых тел она порядка 10

2 

K, но у некоторых веществ она аномально высока (бериллий, 

алмаз). Это связано с зависимостью частоты колебаний от величины сил взаимодействия 

атомов в веществе. 

Ограниченность  модели  Эйнштейна  заключена  в  том,  что  его  предположение  о 

равенстве  частот  всех  упругих  волн  в  твердом  теле  не  соответствует  реальному 

положению  вещей.  Тем  не  менее  главное,  что  он  показал  –  это  то,  что  колебания 

механических  осцилляторов  квантуются  (так  же,  как  Планк  доказал  квантование 

излучения  абсолютно  черного  тела).  Рассматривая  твердое  тело  как  систему 

осцилляторов,  Эйнштейн  объяснил  уменьшение  теплоемкости  при  температуре, 

стремящейся к нулю. 

Однако  роль  модели  Эйнштейна  этим  не  ограничивается.  Ее  часто  используют  для 

описания  оптических  фононов,  для  которых,  как  было  показано  выше  в  случае 

одномерной  атомной  цепочки  с  базисом,  интервал  частот  лежит  в  пределах  

,  т.  е.  изменение  частоты  в  пределах  зоны  Бриллюэна 

невелико.  Для  акустических  колебаний  решетки  разброс  частот  достаточно  велик  ( 

) и модель Эйнштейна неприменима. 

Для построения более корректной модели колебаний атомов в кристаллической решетке 

необходимо учесть то, что эти колебания совершаются с разными частотами, т. е. ввести 

некоторый закон дисперсии. Впервые распределение колебаний по частотам в теории 

теплоемкости твердых тел было учтено в модели Дебая. 

6.2.2. Приближение Дебая В приближении Дебая твердое тело рассматривается, как 

изотропная непрерывная среда – 

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: