Тепловые свойства твердых тел

 

Лекция 2 Фононы в твердых телах 

 

2.1 

Колебания одномерной моноатомной цепочки атомов 

Основные  качественные  особенности  тепловых  колебаний  атомов  кристаллической 

решетки  можно  выяснить,  рассматривая  гармонические  колебания  атомов  в  двух 

простейших одномерных моделях: моноатомной и двухатомной цепочки [59]. 

Рассмотрим  модель  колебаний  одинаковых  атомов  массой 

m

,  находящихся  в 

одномерной цепочке с периодом 

а, 

в гармоническом приближении. Пусть в этой цепочке 

находится 

N

 атомов. Обозначим смещение 

n

-го атома 

u

n

, а атома, отстоящего от него на 

p

 

узлов, – 

u

n+p

. Примем в качестве положительных смещения атомов вправо от положения 

равновесия, а отрицательных – влево (рис. 5.3). 

  

 

Рис. 5.3. Одномерная цепочка атомов 

  

Каждый  атом  смещается  только  вдоль  цепочки,  что  следует  из  требования 

одномерности модели. Такие смещения характерны для продольной волны.  

Пусть атомы связаны между собой 

квазиупругой

 силой 

F

 с коэффициентом упругости 



.  Найдем  уравнение  движения 

n

-го  атома  в  цепи.  В  равновесном  положении  силы, 

действующие на атомы, равны нулю. При произвольных смещениях на каждый 

n

-й атом 

будет  действовать  сила  со  стороны  других  атомов,  отстоящих  от  него  на 

p

  межатомных 

расстояний. В соответствии с элементарным законом Гука для пары атомов с номерами 

n

 

и 

n+p

 эту силу можно представить в виде 

,

 

(5.15) 

где 

−  коэффициент квазиупругой  силы,  действующей  между  атомами,  находящимися 

на расстоянии 

pa

. 

Суммарная сила, действующая на 

n

-й атом со стороны всех атомов цепочки, будет 

.

 

(5.16) 

Уравнение движения 

n

-го атома под действием силы 

F

n

 

.

 

(5.17) 

Решение этого уравнение будем искать в виде суперпозиции волн: 

,

 

(5.18) 

где   − смещение атома с 

n

 = 0 в момент времени 

t

 = 0, 



 − частота колебаний волны, 

k

 − 

волновое число. По аналогии: 

.

 

(5.19) 

Подставив формулы (5.19) и (5.18) в (5.17), получим 

,

 

.

 

(5.20) 

В  выражении  (5.20)  суммирование  ведется  по  всем  целым 

p

  от 

 

до 

.

  Если 

принять, что 

p 



 0, то, т. к. все атомы в цепочке одинаковы, 



p

 = 



-p

 , и выражение (5.20) 

можно записать в виде: 

 

(5.21) 

Таким образом: 



         

колебания  атомов  в  дискретной  цепочке  (и  кристалле)  нельзя  рассматривать  как 

движение 

N

 независимых между собой осцилляторов; 



         

можно перейти от рассмотрения колебаний совокупности взаимодействующих атомов 

к  совокупности  невзаимодействующих  волн,  распространяющихся  по  цепочке  в 

результате колебательных движений атомов. 

Будем считать в первом приближении, что имеют место только короткодействующие 

силы, а значит существенны только взаимодействия между соседними атомами. Итак, 



1