156
7. Ешкеев А.Р. Счетная категоричность
-
PM
-теорий. Тезисы. 12-ая
Межвузовская конференция по математике, механике и информатике Алматы,
2008 г.
8. Мустафин Т.Г. Обобщенные условия Йонсона и описание обобщенно-
йонсоновских теорий булевых алгебр. Математические труды, 1998, том 1, №2,
135-197.
9. Vaught R. L. Denumerable models of complete theories. – In: Infinitistic
Methods. London: Pergamon, 1961.
10. Ешкеев А.Р. О йонсоновской стабильности и некоторых еѐ
обобщениях. Фундаментальная и прикладная математика: Вып.8, МГУ, ЦНИТ,
2008.- C.117-128.
11. Ешкеев А.Р., Мейрембаева Н.К. Свойства
)
,
(
1
1
n
n
-атомных
моделей
T
-
-
PM
-теории. Вестник КазНУ. - Серия математика, механика,
информатика, № 3,
Специальный выпуск. – 2008.- С. 74-77.
12. А.Р.Ешкеев Категоричные позитивные теории, Синтаксис и семантика
логических систем // Материалы российской школы-семинара, посвященной
100 летию – со дня рождения Курта Геделя, 23-27 август 2006 г., Иркутск,
Институт математики СО РАН, Изд-во гос. Пед. Ун-т, 2006, 124 с., - C. 28-32
13. Itay Ben-Yaacov. Positive model theory and compact abstract theories.-
Journal of Mathematical Logic 3 (2003), no. 1, 85-118.
14. Itay Ben-Yaacov. Compactness and independence in non first order
frameworks. - Bulletin of Symbolic logic, volume 11 (2005), no. 1, 28-50.
СВОЙСТВА СЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ВЫПУКЛЫХ ФРАГМЕНТОВ
ЙОНСОНОВСКИХ МНОЖЕСТВ В ОБОГАЩЕННОЙ СИГНАТУРЕ
Ешкеев А.Р., Фѐдорова Я.А., Москаленко О.А.
Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова, г. Караганда
modth1705@mail.ru
,
starlight_f_y@list.ru
,
ksana9900@mail.ru
В этой статье рассмотрены некоторые виды атомных моделей
-М
теорий в обогащѐнной сигнатуре. Для этих теорий приведен критерий
)
1
(n
-
-позитивной экзистенциально замкнутой атомности с помощью существования
специальных видов атомных моделей. Основным методом исследования данной
работы является семантический метод для йонсоновских теорий. Его сущность
заключается в переносе теоретико-модельных свойств центра на саму теорию.
В известной работе [1] Воота была доказана теорема о простой и атомной
моделях полной теории. Напомним, что модель теории называется простой,
если она элементарно вкладывается в любую модель данной теории, а также
модель теории называется атомной, если любой ее конечный кортеж реализует
главный тип.
Воот установил следующий факт о простой модели:
157
(1) модель является простым тогда и только тогда она счетная и атомная;
(2) полная теория имеет простую модель, если [оно удовлетворяет
простой синтаксический
(3) полная теория имеет не более одного простой модели (с точностью до
изоморфизма).
В работе [2] авторами было рассмотрено понятие алгебраически простой
модели и специальные виды атомных моделей. Напомним следующие
определения:
Пусть задан произвольный счетный язык
L
.
Теория
T
называется йонсоновской, если:
1) Теория
T
имеет бесконечные модели;
2) Теория
T
индуктивна;
3) Теория
T
обладает свойством совместного вложения (
JEP
);
4) Теория
T
обладает свойством амальгамы (
AP
).
В работах [5], [7], [10], были рассмотрены различные теоретико-
модельные свойства -
PM
теорий.
Йонссонская теория T называется совершенной теорией, если ее
семантическая модель насыщенна.
Пусть Т-йонсоновская совершенная теория полная для экзистенциальных
предложений в языке и ее семантические модель есть .
Мы говорим, что множество
определимо, если оно определимо
некоторой экзистенциальной формулой.
Следующее определение взято из [3]
Множество
называется йонсоновским в теории
, если оно
удовлетворяет следующим свойствам:
1)
есть
определимое подмножество ;
2) dсl (Х) есть носитель некоторой экзистенциально-замкнутой
подмодели .
Напомним основные определения из работы [4], связанные с понятием
выпуклости произвольной теории и ядерности моделей таких теории.
Определение 7. Теория называется выпуклой,если для любой ее модели
и для любого семейства
ее подструктур, которые являются
моделями теории , пересечение
есть модель теории
. При этом
предполагается, что это пресечение не пусто. Если это пересечение никогда не
пусто, то теория называется сильно выпуклой.
Определение 8. Если теория сильно выпукла, то пересечение всех ее
моделей содержится в некоторой ее модели.
Эта модель называется ядерной моделью этой теории.
Определение 9. Модель сигнатуры данной теории (в дальнейшем
структура) называется ядерной, если она изоморфна единственной
подструктуре каждой модели данной теории.
Понятно, что любая ядерная модель является алгебраически простой в
силу своего определения.
158
На данный момент достаточно хорошо изученными являются
совершенные йонсоновские теории. Для них был доказан критерий
совершенности [5], что позволило получить многие теоретико-модельные
факты относительно йонсоновской теории и ее центра.
Дадим определения йонсоновского фрагмента:
Будем говорить, что все
-следствия произвольной теории образуют
йонсоновский фрагмент этой теории, если дедуктивное замыкание этих
-
следствий есть йонсоновская теория.
В силу того, что это не всегда верно, было бы интересно уметь выделять у
произвольной теории такую часть, которая будет йонсоновской теорией. Такая
задача имеет место быть, хотя бы в силу того, что морлизация произвольной
теории нам это обеспечивает, более того, полученная теория совершенна[6].
Другой путь это использование такого факта, что любая счетная модель
индуктивной теории обязательно вложится изоморфно в некоторую
экзистенциально замкнутую модель рассматриваемой теории [6]. Далее
рассматриваем все
- предложения истинные в этой модели. Тогда в случае
йонсоновской теории хорошо известен тот факт, что
-предложения истинные
в данной экзистенциально замкнутой модели образуют йонсоновскую теорию.
Полученная в этом случае йонсоновская теория будет называться
йонсоновским фрагментом соответствующего йонсоновского множества. В
случае если этот фрагмент является выпуклой теорией, то мы будем говорить о
выпуклом фрагменте.
В работе [7] был введен класс теорий, который в пересечении с классом
йонсоновских теорий, обобщает его, а также содержит обобщенные
йонсоновские теории, введенные в [8].
Напомним определение этого класса.
Определение. Теория
T
называется -позитивно мустафинской ( -
PM
)-
теорией, если
1) теория имеет бесконечные модели,
2) теория является
2
n
–аксиоматизируемой,
3) теория допускает -
JEP
,
4) теория допускает -
AP
.
В работах [5], [7], [10], были рассмотрены различные теоретико-
модельные свойства -
PM
теорий.
Следующий результат является обобщением результатов 5.3 из [6] и 3.2
из [9] и 1 из [11] .
Теорема 1.
Пусть
T
совершенная, выпуклая,
-йонсоновская
-М-теория, полная
относительно
2
n
. Пусть F выпуклый фрагмент произвольного йонсоновского
подмножества семантической модели Т, тогда каждая
)
,
(
1
1
n
n
-атомная
модель
*
T
-центра F, принадлежит
)
(
*
1
T
E
n
, где
*
T
центр теории
T
в языке
сигнатуры
)
( A
.
Достарыңызбен бөлісу: |
