«ШОҚан оқулары 19» Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

154
 
 
[3,  4]  сҥйене  отырып,  структуралар  арасындағы 
-морфизмдерді 
анықтаймыз. 
)
( At
B
 болғанда  біз  кәдімгі  йонсондық  теорияны  аламыз,  оның 
айырмашылығы  –  онда  тек  позитивті 
-аксиомалар  бар.  Сонымен  қатар 
қарастырылып отырған теория гомоморфизмдерге қатысты орнықты болады. 
Теорема 1.  
Егер L – саналымды тіл және 
T
 толық  -категориялы теория болса, онда  
T
 теориясы  -категорлы модельді компаньонға ие болады. 
Анықтама 3 
–  шексіз  кардинал  болсын.  Егер 
PJ
 теория 
T
 йонсондық  болса 
(кәдімгі  мағынада),  онда  ол  k -категорлы,    егер  оның  кез  келген 
k
 қуатты  екі 
модельдері ӛзара изоморфты болса. Керісінше жағдайда, ол 
k
-категорлы,  егер 
оның  кез  келген  екі 
)
(
,
T
E
B
A
 қуаты  k -ға  тең    модельдері  ӛзара  изоморфты 
болса.  
Келесі факт кемел йонсондық теорияларды сипаттайды: 
Теорема 2 [5: 2.8].  
Т йонсондық теория болсын. Онда келесі шарттар эквивалентті: 
1) 
T
 кемел теория; 
2) 
T
 – 
T
 –нің модельді компаньоны;  
Егер Т кемел болса, онда келесі шарттар эквивалентті: 
3) 
T
E
ModT
; 
4) 
0
T
T
T
f
, 
мҧндағы 
T
E
 – 
T
 моделдерінің 
T
-экзистенционалды  тҧйық 
T
-
экзистенционалды классы, 
0
T
 –Кайзера қабықшасы (максимальді 
-теория, 
T
 
–мен  ӛзара  модельді  ҥйлесімді), 
)
(
T
f
F
Th
T
,  мҧндағы 
T
F
 –Т  моделінің 
генерикалық  классы  (шекті  Робинсон  форсингі  мағынасында), 
M
T
 – 
T
 
йонсондық теориясының модельді компаньоны.  
Теорема 3.  
T
 – 
-PJ  теория  болсын. 
 оның  семантикалық  моделі. 
–
 –ның 
йонсондық ішкі жиыны. 
, 
 - 
 центрі. 
Онда келесі шарттар эквивалентті: 
1)   
T
теориясы –  -категориялы;  
2)   
T
 теориясы– 
-категориялы.  
Дәлелдеуі. 
)
2
)
1
.  Екі  жағдайын  қарастырамыз:  1) 
T
 
-PJ  теория  – 
йонсондық  теория  (кәдімгі  мағынада);  2)  Т  -PJ  теория  –  йонсондық  емес 
теория  (кәдімгі мағынада). 
1)  Айталық 
)
(
*
C
Th
T
 – 
-категорлы  болсын,  мҧндағы  С  – 
T
 
теориясының  Т-әмбебап    Т-біртекті  моделі.  Т  теориясы,  дербес  жағдайда, 
йонсондық  теория  болып  табылады[6,  79]. 
*
T
 1  теоремасы  бойынша  толық 
болғандықтан 
*
T
- 
M
T )
(
*
 -ның 
-категорлы  модельді  компаньонына  ие. 
T
 және 
*
T
, 
*
T
 және 
M
T )
(
*
-ның  модельді  ҥйлесімділігі  бойынша  және  модельді 
ҥйлесімді  болу  қатынасы  транзитивті  болғандықтан,  біз 
M
T )
(
*
 Т-мен  модельді 

155
 
 
ҥйлесімді  дейміз.  Бҧдан  Робинсонның  теоремасы  бойынша
M
T )
(
*
=
*
T
, 
M
T )
(
*
 Т-
ның модельді компаньоны екені шығады. Демек, 
*
T
 модельді  толық.  Кемелдік 
критерийі бойынша Т-кемел. Тағы да кемелдік критерийі  бойынша 
*
ModT
E
T
. 
Бҧдан, 
*
T
 шарт  бойынша   
-  категорлы  болады,  демек, 
T
E
-да  изоморфизмге 
дейінгі дәлдікпен тек қана бір саналымды модель бар. Бҧл модельді D арқылы 
белгілейміз.Айталық Т теориясының саналымды экзистенционалды емес тҧйық 
кез  келген  А  моделі 
D
-ға  изоморфты  емес  болсын.  Онда  берілген  дерек 
бойынша  А кейбір  В- ға  - жалғасады, мҧндағы 
)
(
T
E
B
.Қарастырып отырған 
теория йонсондық болғандықтан, 
)
( At
B
 және бізде 
T
T
E
E )
(
 бар. Керісінше 
кӛрсетейік.  Кемелдік  бойынша 
*
T
 модельді  толық  және 
*
ModT
E
T
,  демек, 
*
T
 
теориясының  кез  келдген  моделі  ӛте  жай,  онда  2  теоремасы  бойынша 
*
T
 
позитивті  модельді  толық.  Онда,  анықтамасы  бойынша  кез  келген  -формула 
кейбір  позитивті 
-формуламен  эквивалентті.  Демек, 
T
T
E
E )
(
.  Сӛйтіп, 
T
T
E
E )
(
.  Онда 
T
E
-да  да  изоморфизмге  дейінгі  дәлдікпен  тек  бір  ғана 
саналымды модель бар, яғни  
D
B
.  Онда В-да изоморфты  А-ның  -басы бар, 
және ол А D-ға изоморфты емес деген тҧжырымды жоққа шығарады. Сӛйтіп, Т 
 - категорлы.  
)
1
)
2
.  Т  теориясы 
 -  категорлы  делік.  Керісінше  болжайық,  яғни 
*
ModT
-да  екі  саналымды изоморфты  модельдер бар. Оларды  А  және  В  арқылы 
белгілейік. 
*
T
T
 болса, онда 
ModT
ModT
*
, демек, А және В  
*
ModT
-дан болса, 
онда Т –ның  -категорлылығына қайшылықты аламыз.  
2) Т 
PJ
 теория –йонсондық емес теория болсын (кәдімгі мағынада). 
Бҧл  жағдайда  дәлел  тривиалды,  қарастырып  отырған 
T
E
 класында  -
жалғастырулар  -батыру болып табылады және 
T
-ның кез келген толықтыруы 
толық позитивті робинсондық теория болады.  
 
Әдебиеттер: 
 
1. Ешкеев А.Р. Йонсоновские теории. – Караганда: КарГУ, 2009. – 250 с. 
2.  Справочная  книга  по  математической  логике:  В  4-х  частях/Под  ред. 
Дж.Барвайса. - Ч.1. Теория моделей: пер. с англ. - М.: Наука. Главная редакция 
физико-математической литературы, 1982, 126 с. 
3. Vaught R. Denumerable models of complete theories in InfinitisticMethode, 
Pergamon. London, p. 303-321. 
4. John T. Baldwin, David W.Kuеker. Algebraically prime models. Annals of 
Mathematical Logic 20 (1981). Р. 289-330. 
5.  Yeshkeyev  A.R    Jonsson  sets  and  some  of  their  model-theoretic  properties 
International Congress of Mathematicians. 
6.  Kueker  D.W.  Core  structures  for  theories//  Fundamenta  Mathematicae 
LXXXIX (1975). - P.154 – 171.