§ 2 Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Кезкелген математикалық теория белгілі бір ұғымдар негізінде құрылатын болғандықтан, біз ықтималдықтар теориясын құруда ықтималдықтың классикалық анықтамасына сүйенеміз.

Жалпы, ықтималдықтың классикалық анықтамасынан басқа да геометриялық, статистикалық, аксиоматикалық анықтамалары да бар.Олардың әрқайсысының қолданатын орны, ерекшеліктері, бір-бірінен артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Мысалы, геометриялық ықтималдықтар астрономия, биология, атомдық физика т.с.с. салаларында жиі қолданылғанымен ол классикалық анықтама сияқты айқын емес.

Ал статистикалық анықтаманың іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар, мысалы, үлкен жиынды зерттеу керек болғанда, ол қиын болғандықтан оның бәлігін (таңдаманы) зерттейміз, сөйтіп, таңдаманы зерттеу нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы арқылы ықтималдықтың сандық мәнін бағалаймыз, яғни қарастырып отырған құбылыстың сандық сипаттамасы негізделеді. Сонымен, ықтималдықтар теориясымен статистиканы (тәжірибені) байланыстыратын маңызды дәнекер модель–үлкен сандар заңына алып келеді (ол туралы алдағы бөлімдерде айтылады).

Осы анықтамалардың бәрінің негізі болатын ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет француз ғалымы Лаплас (1794-1827) берген еді.

Бұл анықтама саны шекті болатын тең мүмкіндікті элементар оқиғалар туралы қысқаша түсінік берейік.

Жасалған әрекетке (сынақ, тәжірибе) қойылатын негізгі шарт оның мүмкін болатын нәтижесін көрсете білуіміз керек. Ал әрекет жасалғанда тек бірінің ғана орындалуын талап ете отырып, жасалған әрекеттің нәтижелерінің мүмкін мәндерін бұдан былай элементар оқиғалар деп атаймыз да, оны t_i арқылы белгілейміз . Элементар оқиғалар – әрі қарай жіктелмейтін оқиғалар. Ал әрекеттің нәтижесі тек бір ғана элементар оқиғамен көрсетіледі. Әрекеттің барлық мүмкін болатын нәтижелері жиынын элементар оқиғалар жиыны дейміз. Мұны {ω} арқылы белгілейік. Элементар оқиғалар {ω} жиынының әрбір ішкі элементі оқиға деп аталады. Оларды А,В,С,.... әріптерімен белгілейміз. Мысалы, асықты үйіргенде барлық мүмкін нәтижелер жиыны t₁, t₂, t₃ , t₄} – элементар оқиғалар жиыны. Мұндағы t₁ – асық алшы түсті, t₂ – тәйке түсті, t₃ – бүк түсті, t₄ – шік түсті оқиғалар.

Енді мысалмен негіздей отырып, ықтималдықтың классикалық анықтамасын берейік.

Жәшікте мұқият араластырған 2-жасыл, 3-көк, 1-ақ барлығы 6 асық болсын. Егер біз кезкелген бір асықты алатын болсақ, онда боялған (көк не қызыл) асықтың шығу мүмкіндігі ақ асыққа қарағанда көп. Осы мүмкіндікті санмен көрсетуге бола ма екен?

Соны көрсетейік: боялған асықтың шығуын А – оқиғасы деп белгілейік. Әрбір әрекеттің мүмкін болатын нәтижесін элементар оқиғалар деп атайық та t₁, t₂,.... т.с.с. белгілейік. Біздің жағдайда мынадай 6 элементар оқиғаның болуы мүмкін: t₁ – ақ асық шықты, t₂, t₃ – қызыл асық шықты, t₄, t₅,t₆ – көк асық шықты.

Бұл оқиғалар өзара үйлесімсіз, мүмкіндіктері бірдей болатын толық топты құрайды. Бұл жерде әрбір элементарлық оқиға бір-ақ мәнге ие болатынын атап айтуымыз керек. Біз қажет етіп отырған А оқиғасы орындалатын элементарлық оқиғаларды, біз үшін ыңғайлы элементарлық оқиғалар деп атаймыз. Біздің мысалда А оқиғасына ыңғайлы, яғни оның орындалуына ықпал етуші мынадай 5 элементарлық оқиғалар бар: t₂, t₃, t₄, t₅, t₆

Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп, осы оқиғаның орындалуына ыңғайлы болатын, яғни ықпал ететін элементарлық оқиғалардың санын, мүкіндіктері бірдей, өзара үйлесімсіз, толық топ құрайтын, барлық элементарлық оқиғалардың санына қатынасын айтамыз да, былайша белгілейміз:

(1)

мұндағы m – оқиғаның орындалуына ыңғайлы, яғни ықпал етуші элементарлық оқиғалардың саны. n – барлық мүмкін болатын элементарлық оқиғалардың саны. Сонда біздің мысал болып шешіледі.

Ықтималдықтың анықтамасынан оның мынадай қасиеттері шығады:

І қасиет. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы 1-ге тең, яғни болады да

2-қасиет. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы 0-ге тең, яғни болады да

3-қасиет. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 мен 1-дің арасында жататын оң сан, яғни болғандықтан демек

Сонымен кезкелген оқиғаның ықтималдығы мына теңсіздікті қанағаттандырады .