§ 16 Болжамның ықтималдығы. Бейес формуласы

(Ағылшын математигі 18-ғ.)

Біз А оқиғасының орындалу ықтималдығы толық ықтималдықтың формуласымен (1) анықталатынын көрсеттік, яғни

Енді А оқиғасы орындалды деп есептейік те, бұл жағдайда болжамдардың ықтималдығы қалай өзгеретінін көрсетелік, яғни мына шартты ықтималдықтарды іздейміз: . Алдымен шартты ықтималдығын табалық . Көбейту теоремасын қолдансақ

Р(А)-ны (1)-ші формула арқылы айырбастасақ (2)-ден мынау шығады:

сонда кезкелген болжамның шартты ықтималдығы мына формуламен есептеледі:

Алынған (3) және (3^і) формулаларын Бейес формулалары дейміз.

Есептің шарты бойынша: (тексерілетін бөлшектің 1-ші бақылаушыға түсетіндігінің ықтималдығы), (бөлшектің 2-ші бақылаушыға түсетіндігінің ықтималдығы), (жарамды бөлшектің 1-ші бақылаушыға тексеріп, үлгілі болатындығының ықтималдығы), (2-ші бақылаушы тексеріп, үлгілі болатындығының ықтималдығы). Сонда іздеп отырған ықтималдығымыз:

Әрекетке дейін В болжамның ықтималдығы – 0,6 еді, ал әрекеттің нәтижесі белгілі болғаннан кейін, бұл болжамның ықтималдығы өзгеріп 0,59 болғандығын байқауға болады. Сонымен Бейес формуласын қолдану арқылы қарастырып отырған болжамның ықтималдығын қайта бағаладық.

1. 
   Дорбадағы 40 асықтың 4-уі сақа. Дорбадан кездейсоқ алған асықтың сақа болатындығының ықтималдығын тап. ( Жауабы: р=0,1)
   
2. 
   Бәйгеге шабатын аттың үстіндегі балаларға нөмір тағу үшін 1-ден 60-қа дейінгі нөмір жазылған қағазды алу керек болды. Бірінші бала алған нөмірде 8 цифры болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,1)
   
3. 
   Ойын кубы лақтырылды.Тақ санды ұпай түсетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: )
   
4. 
   Бір асықты үйірдік. Алшы мен тәйке түсетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: )
   
5. 
   Дорбада 3 ақ , 21 қара түсті дойбы тасы бар. Дорбадан кездейсоқ алған дойбының ақ түті болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )
   
6. 
   Дорбада бірдей 5 кубик бар. Әр кубиктің барлық жағына мына әріптердің біреуі жазылғн: А, З, С, Т, Ұ. Дорбадан бір-бірлеп кубиктерді алып, және бір қатарға тізіп қойған кубиктерден «ҰСТАЗ» деген сөзді оқуға болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )
   
7. 
   Бәрі бірдей алты карточкаға мына әріптердің біреуі жазылған: А, Б, Н, Р, Т, Ы. Карточкалар жақсылап араластырылды. Бір-бірден кездейсоқ алып, бір қатарға тізіп қойған төрт карточкадан «ТАРЫ» деген сөзді оқуға болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )
   
8. 
   Барлық жақтары боялған кубикті бірдей етіп аралап кесіп, мың кубиктерге бөлейік те жақсылап араластырайық . Кездейсоқ алынған кубикшенің боялған жақтары: а) біреу, б) екеу, В) үшеу болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: а) 0,384, б)0,96, в)0,008 )
   
9. 
   Әртүрлі сегіз кітапты кездейсоқ түрде бір сөреге қояйық . Белгілі екі кітаптың қатар орналасқандығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )
   
10. 
    Дүкенде әрқайсысы 4 теңгелік 5 қалам, 3 қалам – бір теңгеден және 2 қалам – үш теңгеден сатылмақ . Кездейсоқ алынған екі қаламның 5 теңге тұратындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )
    
11. 
    Әкелінген 100 қарбыздың 5-уі шикі болып шықты. Шикі қарбыздың болатындығының салыстырмалы жиілігін тап. (Жауабы: )
    
12. 
    Садақтан атқанда нысанаға дәл тиетіндігінің салыстырмалы жиілігі 0,75-ке тең болды. Барлығы 80 рет атқан болса, неше рет нысанаға дәл тиді ? (Жауабы: 60 рет)
    
13. 
    Тігін цехынан шыққан 120 қалпақты тексергенде 6-уының жарамсыз екендігі белгілі болды. Жарамсыз қалпақтың бар екендігінің салыстырмалы жиілігін тап. (Жауабы: )
    
14. 
    Футбол ойынындағы 11 метрлік айып добын соққанда, торға дәл түсетіндігінің салыстырмалы жиілігі 0,85-ке тең болды. Бір маусымда 120 айып добы соғылған болса, соның нешеуі торға түсті ? (Жауабы: 102 рет түсті)
    
15. 
    Ақшалай-заттай лотореясында әр 10000 билетке ақшадай 50 және заттай 150 ұтыс шығады. Бір билет алған адамның ақшалай ма , заттай ма, әйтеуір ұтатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,02 )
    
16. 
    Мерген бір атқанда 10 ұпай алатындығының ықтималдығы 0,1-ге тең; 9 ұпай алатындығы 0,3-ке тең; ал 8 ұпай, немесе одан аз ұпай алатындығының ықтималдығы 0,6-ға тең. Мерген бір атқанда 9-дан кем емес ұпай алатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,4)
    
17. 
    10 дойбы тасының 8-і қара түсті. Кездейсоқ алған 2 тастың ең болмағанда біреуі қара тас екендігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: )
    
18. 
    Жәшіктегі 10 балапанның екеуі тауықтыкі емес. Кездейсоқ алған 6 балапанның ішінде бөтен балапанның саны біреуден көп емес екендігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: )
    

19. А, В, С, Д оқиғасы толық топ құрайды. Бұл оқиғалардың ықтималдықтары ; ; -ке тең болса Д оқиғасының ықтималдығы неге тең ? (Жауабы: )

20. Статистикалық мәліметке қарағанда науқан кезінде автомашинаның орташа есеппен 20 рет тоқтап тұруына себеп: 10-ы бензин алуға, 3-уі балон ауыстыруға, 2-уі жүк уағында тиелмегендіктен екен. Ал басқалары әртүрлі басқа себептерге байланысты болса керек. Автомашинаның басқа себептерге байланысты тоқтайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )

21. Асықты бір рет үйіргенде бүк түсетіндігінің ықтималдығы р=0,8-ге тең. Асықты үш рет үйірдік. Үшеуінде де бүк түсетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: Р=0,512 )

22. Садақтан бір рет атқанда мерген нысанаға дәл тиетіндігінің ықтималдығы 0,7-ге тең. Мерген үш рет атты. Үшеуінде де нысанаға дәл тиетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,343 )

23. Тиын мен ойын кубы лақтырылды. «Елтаңба түсті» және «5 ұпай түсті» оқиғаларының қабат орындалатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )

24. Екі дорбада дойбы тастары бар: біріншісінде – 10 (оның 3-уі ақ тас), екіншісінде – 15 (оның 6-уы ақ тас). Әр бір дорбадан кездейсоқ бір-бір тас алдық. Екеуінің де ақ тас болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,12)

25. Телевидения студиясында 3 телевизорлық камера бар. Олардың әрқайсысының қажетті уақыт сәтіндегі іске қосылу ықтималдығы р=0,7. Қажет сәтте осылардың ең болмағанда біреуінің іске қосылатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,973)

26. Үш ойын кубын лақтырғанда, ең болмағанда біреуінде 4 ұпай түсетіндігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: )

27. Мекеме 95% үлгілі бұйым дайындайды, оның 86 %-ы бірінші сортты. Осы мекемеде дайындалған, кездейсоқ алынған бұйымның бірінші сортты болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,817 )

28. Тиынды лақтырғанда, қатарынан екі рет бір жағы ғана түскенше лақтыра берейік. Мына оқиғалардың ықтималдығын тап: а) алтыншы рет лақтырғанға дейін талап орындалады, б) жұп сан рет лақтырғанда талап орындалады. ( Жауабы: ; б) )

29. 1,2,3,4,5 цифрларының алдымен біреуін таңдап аламыз, одан соң қалған төртеуінен екінші цифрды таңдап аламыз. Барлық 20 мүмкін жағдайларды тең ықтималдықты деп есептеп, таңдап алынған тақ цифр екендігінің ықтималдығын тап. а) бірінші ретте, б) екінші ретте, в) екеуінде де. ( Жауабы: а) ; б) ; в) 0,3

30. Бір атқанда мергеннің ондыққа тигізетіндігінң ықтималдығы 0,6-ға тең. Тигізу ықтималдығы 0,8-ден кем болмаса, ол ең болмағанда бір рет ондыққа тигізу үшін неше рет атуға тиіс. ( Жауабы: )

31. Үш электр лампочкалары тоққа тізбектей жалғастырылған. Егер тізбектегі тоқтың қуаты тиісті қалыптан артып кетсе, кезкелген лампочканың жанып кету ықтималдығы 0,6-ға тең. Тоқтың қуаты тым жоғары болса, тізбекте тоқ болмайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: р=0,936 )

32. Тәуелсіз екі рет әрекет жасағанда А оқиғасының ең болмағанда бір рет орындалатындығының ықтималдығы 0,75-ке тең. Екі реткі әрекет кезінде де оқиғаның орындалу ықтималдығы бірдей деп есептеп, оқиғаның бір әрекет кезінде орындалатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,5 )

33. А спорт ұйымының А₁, А₂, А₃ үш командасы В спорт ұйымының В₁, В₂, В₃ үш командасымен сайысқа түседі. А ұйымының командалары В ұйымының командаларынан ұтатындығының ықтималдықтары мынандай: А₁ командасы В₁ командасын ұтатындығы – 0,8; А₂ – В₂-ні ұтатындығы – 0,4; А₃ – В₃-ті ұтатындығы – 0,4. Жеңіс үшін, үш сайыста екіден кем емес ұту керек. (тең ойын есепке алынбайды) Қай ұйымның ұтуы ықтималдырақ ? ( Жауабы: А ұйымы, р=0,544 ; )

34. Бір рет атқанда тигізу ықтималдығы, бірінші атқыш үшін 0,8 , ал екінші үшін 0,6-ға тең болса, тек бір ғана атқыштың тигізетіндігінің ықтималдығын тап. ( Жауабы: 0,44 )

35. Асықтың боялғандығы тексерілуде. Оның боялмағандығының ықтималдығы 0,1-ге тең болса: а) тексерілген үш асықтың тек біреуі ғана боялмаған, б) қатарынан тексерілгендегі төртіншісі ғана боялмаған, болатындығының ықтималдығын тап. ( Жауабы: а) 0,243 б) 0,0729 )

36. Екі мерген бір-бірден оқ атты. Бірінші мергеннің тигізу ықтималдығы 0,7-ге тең, ал екіншінікі 0,6-ға тең болса, ең болмағанда біреуінің нысанаға дәл тиетіндігінің ықтималдығын тап. ( Жауабы: 0,88 )

37. Сауытта №1 шебер жасаған 16 және №2 шебер жасаған 4 жүзік бар. Кездейсоқ екі жүзікті алдық . Солардың ең болмағанда біреуін №1 шебер жасағандығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )

38. Топта 4 желаяқ, 6 палуан және 20 гимнаст бар. Бұлардың спорттық норманы орындау ықтималдықтары мынадай: желаяқ – 0,75; палуан – 0,8 және гимнаст үшін – 0,9. Кездейсоқ таңдап алынған спортшының норманы орындайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,86 )

39. Үш қоржында №1-ші өрімші өрген және екі қоржында №2 –ші өрімші өрген қамшылар бар. №1-ші өрімшінің қамшысы тобылғы сапты екендігінің ықтималдығы – 0,8-ге, ал №2-шінікі – 0,9-ға тең. Кезкелген қоржыннан кездейсоқ қамшы алдық . Алынған қамшының тобылғы сапты болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,84 )

40. Бірінші дорбадағы 20 асықтың 15-і боялған, екінші дорбадағы 30 асықтың 24-і боялған, үшінші дорбадағы 10 асықтың 6-уы боялған. Кезкелген дорбадан кездейсоқ алынған асық боялған болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )

41. Қоймада 4 киноскоп бар. Бұлардың межелі мерзімге дейін бұзылмай жұмыс істеу ықтималдықтары: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95- ке тең. Кездейсоқ алынған киноскоптың межелі мерзімге дейін бұзылмайтындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,875 )

42. Екі жәшікте радиолампылар бар. Бірінші жәшіктегі 12 лампының 1-уі жарамсыз, екінші жәшіктегі 10 лампының да 1-уі жарамсыз. Бірінші жәшіктен кездейсоқ бір лампа алайық та екіншіге салайық . Екінші жәшіктен кездейсоқ алынған лампаның жарамсыз болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )

43. Толық 28 тасы бар доминоның кездейсоқ бір тасын алдық . Екінші рет кездейсоқ алынған тастың алдыңғы тасқа жалғастырып қоюға болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: )

44. Емтихан билеттерінің кейбіреулерін білмейтін студент үшін, білмейтін билетті алудың ықтималдығы қандай жағдайда мейлінше аз болады: билетті бірінші болып алса ма, немесе соңынан алса ма ? (Жауабы: Екеуінде де бірдей )

45. Ішінде бірдей үш дойбы бар қобдишаға боялған дойбы салайық-та, одан соң кездейсоқ бір дойбы алайық қобдишадағы бұрынғы дойбылардың боялғандығы туралы барлық мүмкін болжамдар тең ықтималды болатын болса, кейінгі алған дойбының боялған болатындығының ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,625 )

46. Олимпиадаға қатысу үшін бірінші топтан – 4, екіншіден – 6, үшіншіден – 5 студент бөлінді. Олардың институттың құрамасына кіру ықтималдықтары мынадай: бірінші топ үшін – 0,9; екінші топ үшін – 0,7; үшінші топ үшін – 0,8. Кездейсоқ алынған студент жарыс қортындысында институттың құрамасына кірді. Бұл студенттің қай топқа жататындығы ықтималдырақ ? ( Жауабы: Құрамаға кірген студент 1-ші, 2-ші, 3-ші топтан болатындығының сәйкес ықтималдықтары: )

47. Әлдеқандай өндіріс өнімінің талапқа сай болатындығының ықтималдықтары – 0,96-ға тең. Талапқа сай өнімнің оң бағасын 0,98-ге тең ықтималдықпен, ал талапқа сай емес өнімдікін 0,05-ке тең ықтималдықпен қарапайым құрылым тексеретін болды. Тексеру нәтижесінде талапқа сай деп бағаланған өнімнің шынында да талапқа сай екендігінің ықтималдығын тап. (Жауабы: 0,998)

ІІ тарау. Тәуелсіз тәжірибелердің тізбегі.

§ 1 Бернулли формуласы.

( Швейцар математигі )

Егер бірнеше әрекеттер жасасақ, және де А оқиғасының ықтималдығы әрбір әрекет кезінде басқа әрекеттердің нәтижесіне байланыссыз болса, онда ондай әрекеттерді А оқиғасына байланысты айтқанда тәуелсіз әрекеттер деп атайды.

Әртүрлі тәуелсіз әрекеттер кезінде А оқиғасының ықтималдығы әртүрлі де, немесе бәрінде бірдей де болуы мүмкін. Бұдан былай біз А оқиғасының ықтималдығы ылғи да бірдей болатын тәуелсіз әрекеттерді қарастырайық. А оқиғасының орындалуы да, орындалмауы да мүмкін, саны әрекеттер жасалсын. Және де әрбір әрекет кезінде А оқиғасының ықтималдығы ылғи да Р-ға тең болсын. Олай болса А оқиғасының орындалмау ықтималдығы болады.

Саны рет әрекет жасағанда А оқиғасының тура К рет орындалатындығының, яғни рет орындалмайтындығының ықтималдығын табу керек. Мұны былай түсінеміз: Төрт рет әрекет жасағанда А оқиғасы үш рет орындалуға тиіс болса, ол дегеніміз мынадай күрделі оқиғалар болуға тиіс деген сөз: және . Сонымен әрекет жасағанда К рет орындалатындықтың ықтималдығын есептеу кезінде былайша белгілейміз .

Біздің мысалымыз да – дегеніміз, төрт әрекет жасағанда, оқиға тұп-тура үш рет орындалады, демек бір рет орындалмайтын болып шығады. Мұндай мазмұндағы есепті шығару үшін Бернулли формуласын қорытып шығарайық .

А – дегеніміз әрекет жасағанда К рет орындалатын оқиға болса, онда ол рет орындалмайтын оқиға болады, олай болса бұл жағдайда, тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту теоремасы бойынша бір күрделі оқиғаның ықтималдығы -ға тең болады. Мұндай күрделі оқиғалардың саны элементтен -ден жасалған терудің санына, яғни -ға тең болады. Бұл күрделі оқиғалар үйлесімсіз болғандықтан, үйлесімсіз оқиғалардың қосу теоремасы бойынша, керекті ықтималдық барлық мүмкін болатын күрделі оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Бұл дегеніміз барлық күрделі оқиғалардың ықтималдықтары бірдей болғандықтан іздеп отырған ықтималдығымыз бір күрделі оқиғаның ықтималдығын, солардың барлық санына көбейткенге тең:

Бұл формула Бернулли формуласы деп аталады.