§ 3 Лапластың интегралдық теоремасы
А оқиғасының әрбір әрекет кезіндегі орындалу ықтималдығы тұрақты және Р-ға тең болатын рет әрекет жасалсын. Осы рет жасалған әрекет кезінде А оқиғасы -ден кем емес, және -ден артық емес (яғни -ден ретке дейін) рет орындалатындығының ықтималдығы -ні қалай есептейміз? Бұған төмендегі Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді. (дәлелдеуді келтірмейміз)
Теорема. Әрбір әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы Р тұрақты, және 0 мен 1-ден өзге сан болса, онда рет әрекет жасағанда А оқиғасы -ден ретке дейін орындалатындығының ықтималдығы жуық шамамен мына анықталған интегралға тең
(1)
мұндағы және (2)
Лапластың интегралдық теоремасын қолданып есеп шығарғанда анықталмаған интегралы элементар функциялар арқылы өрнектелмейтін болғандықтан арнайы таблицаны қолданамыз.
фунуциясы үшін таблица оқулықтың соңындағы 2-ші қосымшада берілген. Таблицада функциясының оң және болғандағы мәндері берілген, ал болғанда да сол таблицаны қолданамыз, үйткені тақ функция, яғни Ф. Таблицада интегралдың -ке дейінгі ғана мәндері келтірілген, ал мәндері үшін деп алуға болады. функциясын көп жағдайда Лаплас функциясы деп атайды. Лаплас функциясының таблицасын қолдану үшін (1) өрнекті былай түрлендіреміз:
Сонымен рет тәуелсіз әрекет жасалғанда А оқиғасының -ден ретке дейін орындалатындығының ықтималдығы
(3)
мұндағы және (2)-ші формуламен анықталады.
Мысал. Бақылау жұмысының тексерілмегендігінің ықтималдығы болса, кездейсоқ алынған 400 жұмыстың тексерілмегенінің санын 70 пен 100-дің арасында болатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. Есептің шарты бойынша
Лапластың интегралдық теоремасын (3) қолдансақ:
енді мен -ті (2)-ші формула бойынша тапсақ:
Демек, 2-ші қосымшадағы таблицаны пайдаланып, екендігін көреміз, ендеше
Есептер.
1. Асханада 6 желдеткіш бар. Әр желдеткіштің осы сәттегі іске қосылу ықтималдығы 0,8-ге тең. Осы сәтте: а) 4 желдеткіш қосылды; б) барлығы да қосылды; в) барлығы да қосылған жоқ, оқиғалардың ықтималдығын тап. Жауабы: а) б) в)
2. Әрбір әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы 0,3-ке тең болса, 5 рет тәуелсіз әрекет жасағанда А оқиғасының екіден кем емес рет орындалатындығының ықтималдығын тап. Жауабы:
3. В оқиғасы, тек қана А оқиғасы екіден кем емес рет орындалғанда ғана орындалады. Әрбір әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы 0,4-ке тең болатын тәуелсіз 6 әрекет жасалғанда В оқиғасының орындалу ықтималдығын тап. Жауабы:
4. Әр әрекет кезіндегі А оқиғасының орындалу ықтималдығы 0,1-ге тең сегіз рет әрекет жасалды (тәуелсіз). А оқиғасының ең болмағанда екі рет орындалатындығының ықтималдығын тап.
Жауабы:
5. Тиынды 6 рет лақтырғанда: а) елтаңба 2-ден кем рет, б) 2-ден кем емес рет түсетіндігінің ықтималдығын тап. Жауабы: а) ; б) .
6. Мылтықтан бір атқандағы дәл тию ықтималдығы -ға тең. рет ( ) дәл тигендегі мақсатқа жетудің ықтималдығы -ға тең. Екі рет атқанда мақсатқа жететіндігінің ықтималдығын тап.
Жауабы: 0,9639
Сілтеме. Толық ықтималдықтың және Бернулли формуласын қолдану керек.
7. Оқиғаның әрбір әрекет кезіндегі орындалу ықтималдығы 0,2-ге тең болса, 400 рет әрекет жасағанда, оқиғаның тура 104 рет орындалатындығының ықтималдығын тап.
Жауабы:
8. Бір атқанда мергеннің нысанаға дәл тигізу ықтималдығы 0,75-ке тең. 100 рет атқанда нысанаға: а) 70-тен кем емес, 80-нен көп емес, б) 70-тен көп емес тигізетіндігінің ықтималдығын тап.
Жауабы: а)
9. Тәуелсіз 10000 әрекеттің әрқайсысында оқиғаның орындалу ықтималдығы -ке тең. Оқиғаның орындалу жиілігінің, оның ықтималдығынан ауытқуы абсолют шамасы бойынша 0,001-ден аспайтындығының ықтималдығын тап.
Жауабы:
10. Әрбір тәуелсіз әрекет кезіндегі оқиғаның орындалу ықтималдығы 0,2-ге тең. 5000 әрекет жасағанда, 0,9128-ге тең ықтималдықпен күтуге болатын, оқиғаның ықтималдығынан оның жиілігінің ауытқуын тап.
Жауабы:
11. Елтаңбаның түсу жиілігінің, ықтималдығынан ауытқуы абсолют шамасы бойынша 0,01-ден аспайтындығын 0,6-ға тең ықтималдықпен күту үшін тиынды неше рет лақтыру керек ?
Жауабы:
Екінші бөлім. Кездейсоқ шамалар.
ІІІ тарау. Кездейсоқ шамалар және олардың
сипаттамалары.
Ойын сүйегін лақтырғанда 1,2,3,4,5,6 сандары шығуы мүмкін еді, бұлар кездейсоқ шамалар, ал 1,2,3,4,5,6 сандары осы шамалардың мүмкін мәндері.
Жасалған әрекеттің нәтижесінде алдын ала белгісіз және алдын ала ескеруге болмайтын кездейсоқ себептарге тәуелді, нәтижесінде жалғыз ғана мүмкін мән қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атаймыз.
1-мысал. Жаңа туған 100 нәрестенің ішіндегі ұлдардың саны, мынадай мүмкін мәндерге: 0,1,2,3,.......,100 ие болатын кездейсоқ шама.
2-мысал. Садақтан атылған жебенің ұшып барып түсетін қашықтығы кездейсоқ шама. Және де бұл қашықтық кездесу мәндеріне ғана емес, басқа да (желдің күші мен бағыты, ауаның температурасы т.б....) көптеген толық ескеруге болмайтын себептерге байланысты. Бұл шаманың мүмкін мәндері әлдеқандай аралығында жатады.
Кездейсоқ шамаларды сияқты бас әріптермен, ал оның мүмкін мәндерін кіші әріптермен белгілейміз.
Мысалы, шамасының үш мүмкін мәндері болса, оларды деп белгілейміз.
Достарыңызбен бөлісу: | 
