§ 13 Тәуелді оқиғалардың ықтималдықтарын
көбейту теоремасы
А және В оқиғалары тәуелді болсын, оның үстіне Р(А) және РА(В) ықтималдықтары белгілі болсын. Осы оқиғалардың бір сәтте орындалу ықтималдығын табу үшін мына теореманы пайдаланамыз.
Теорема. Екі тәуелді оқиғаның бір сәтте орындалу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығын екіншісінің, бірінші оқиға орындалды деп есептегендегі шартты ықтималдығына көбейткенге тең.
(1)
Дәлелдеу. -деп әрекет кезінде А оқиғасының орындалуы да, орындалмауы да мүмкін болатын элементар жағдайлардың санын белгілейік.
-деп А оқиғасының орындалуына ықпал ететін жағдайлардың санын белгілейік [А ( ].
деп А оқиғасы орындалды деп жорығаннан кейінгі В оқиғасының орындалуы үшін жасалатын әрекет кезіндегі элементар жағдайлардың саны, яғни АВ оқиғасының орындалуына ықпал етуші жағдайлардың саны.
Сонда
яғни
Дәлелденді.
1-Ескерту. (1)-формуланы ВА оқиғасына қолдансақ
Енді ВА мен АВ оқиғалары бір-ақ екендігін ескерсек, онда (2) (1) мен (2)-ні салыстырып
Салдар. Бірнеше тәуелді оқиғалардың бір сәтте орындалу ықтималдығы, олардың біреуінің ықтималдығын қалғандарының шартты ықтималдықтарына көбейткенге тең, бірақ бір ескеретін жағдай, әрбір келесі оқиғаның ықтималдығы, оның алдындағы барлық оқиғалар орындалды деген жорамалмен есептеледі. Яғни
(2)
мұндағы
оқиғалары орындалды деген жорамалдан кейінгі есептелген оқиғасының ықтималдығы.
Тәуелді үш оқиға үшін былай болады:
Мысал. Сауытшада 7 ақ, 5 қара, 3 көк шар бар. Бір-бірлеп қайтармай 3 рет шар аламыз. Бірінші рет ақ шар (А-оқиғасы), екінші рет қара шар (В-оқиғасы), үшінші рет көк шар (С-оқиғасы) шығатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. онда
Енді бірінші рет ақ шар, екінші рет қара шар шықты десек, үшінші рет көк шар шығатындығының ықтималдығы болады да іздеп отырған ықтималдығымыз
2-Ескерту. (1)-ші формуладан шартты ықтималдықтың формуласын аламыз, яғни
(3)
§ 14 Үйлесімді оқиғалардың ықтималдықтарын
қосу теоремасы
Анықтама. Бір-ақ рет жасалатын әрекет кезінде біреуінің орындалуы, екіншісінің орындалуын жоққа шығармайтын екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атаймыз.
Мысал. А-деп, ойын сүйегін лақтырғанда 4 ұпайдың түсуін белгілесек, онда А мен В оқиғалары үйлесімді оқиғалар.
А мен В оқиғалары үйлесімді болсын, және олардың жеке-жеке, және бірге орындалу ықтималдықтары: Р(А), Р(В), Р(АВ) берілсін. Сонда А мен В оқиғаларының ең болмағанда біреуінің орындалуының яғни А+В оқиғасының орындалу ықтималдығын табу үшін, мына теореманы дәлелдейік.
Теорема: Екі үйлесімді оқиғалардың ең болмағанда біреуінің орындалатындығының ықтималдығы, осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы, сол екеуінің бір сәтте орындалатындығының ықтималдығын алып тастағанға тең. Яғни
Р (А+В) = Р (В)-Р(АВ) (*)
Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша А мен В оқиғалары үйлесімді болғандықтан А+В оқиғасы, мына үш үйлесімсіз оқиғаның: А , В, АВ біреуі орындалғанда орындалады. Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасы бойынша
Р (А+В) = Р (А )+Р( В)+Р(АВ) (I)
Үйлесімсіз екі оқиғаның: немесе АВ біреуі орындалса А оқиғасы орындалады. Үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасын қолданып
бұдан (2)
осы сияқты
бұдан (3)
(2) мен (3)-ті (1)-ге қойсақ (*) шығады.
1-ші Ескерту. Дәлелденген (*) формуласын А мен В оқиғалары тәуелсіз болса да, тәуелді болса да қолдануға болады. А мен В тәуелсіз боған жағдайда мына түрде:
Тәуелді болған жағдайда мына түрде:
пайдаланамыз.
2-Ескерту. Егер А мен В үйлесімсіз болса, онда олардың бір сәтте орындалуы мүмкін емес, яғни , онда бұлар үшін (*) формуласы мынадай болады
Мысал. Атқан кезде бірінші және екінші мылтықтың дәл тию ықтималдығы ; . Екі мылтықты бір сәтте қатар атсақ, ең болмағанда біреуінің тиетіндігінің ықтималдығын тап.
Шешуі. А – бірінші мылтықтың дәл тию оқиғасы, В – екінші мылтықтың дәл тию оқиғасы, АВ – екеуінің де тию оқиғасы. Әр мылтықтың дәл тию ықтималдығы олардың әр қайсысының тиген тимегеніне тәуелді емес, олай болса А мен В тәуелсіз.
Ендеше
(*) формуласы бойынша мынау шығады
§ 15 Толық ықтималдықтың формуласы
В1,В2,........, оқиғалары толық топ құрайды, және осылардың біреуі орындалғанда ғана А оқиғасы да орындалады. Егер осы оқиғалардың ықтималдықтары мен шартты ықтималдықтары берілген болса А оқиғасының ықтималдығын қалай табамыз ? Ол үшін мына теореманы қолданамыз.
Теорема. Толық топ құрайтын үйлесімсіз оқиғалардың біреуі орындалғанда ғана орындалатын А оқиғасының ықтималдығы, осы оқиғалардың әрқайсысының ықтималдығын, соған сәйкес А оқиғасының шартты ықтималдығына көбейтіп, оларды қосқанға тең яғни (1)
Бұл формуланы «толық ықтималдықтың» формуласы деп атайды.
Дәлелдеу. Теореманың шарты бойынша А оқиғасы оқиғаларының біреуі орындалғанда ғана орындалуы мүмкін, яғни А оқиғасының орындалуы мына оқиғалардың біреуінің орындалуын қамтамасыз етеді. Онда А оқиғасының ықтималдығын есептеу үшін қосу теоремасын қолданамыз, сонда
(2)
енді тәуелді оқиғалардың көбейту теоремасы бойынша
Осыларда (2)-ге қойсақ (1) шығады. Дәлелденді.
Мысал. Спортшылар тобында 20 шаңғышы, 6 велосипедші және 4 жүргізуші бар. Квалификациялық норманы орындау ықтималдығы мынадай: шаңғышы үшін – 0,9; велосипедші үшін – 0,8; жүргізуші үшін – 0,75. Кезкелген, кездейсоқ алынған спортшының норманы орындайтындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. А – «таңдап алынған спортшы норманы орындайды» – оқиғасы. В1 – «спортшы шаңғышылардың ішінен таңдап алынды» – оқиғасы, В2 – «спортшы велосипедшілердің ішінен таңдап алынды» – оқиғасы, В3 – «спортшы жүргізушілердің ішінен таңдап алынды» – оқиғасы. Барлық спортшы саны демек онда
; ;
Енді толық ықтималдықтың формуласы бойынша (1)
Жауабы: 0,86
Мысал. Бірінші қораптағы 20 радиолампаның 18-і үлгілі, екіншідегі 10 лампаның 9-ы үлгілі. Екінші қораптан кезкелген бір лампа алайық та, біріншіге салайық. Енді бірінші қораптан еркімізше алған лампының үлгілі болатындығының ықтималдығын тап.
Шешуі. А – «бірінші қораптан үлгілі лампа алынды» – оқиғасы. Екінші қораптан не үлгілі лампа – В1 оқиғасы, не үлгісіз лампа – В2 оқиғасы, алынуы мүмкін, онда . Екінші қораптан біріншіге үлгілі лампа салынды деген жағдайда, бірінші қораптан алынған лампа үлгілі болатындығының шартты ықтималдығы . Осылайша, екінші қораптан бірінші қорапқа үлгісіз лампа салынды десек, . Енді іздеп отырған ықтималдықты (1)-формула бойынша тапсақ:
Достарыңызбен бөлісу: |
