Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің Хабаршысы №1(43), 2013
71
.
2
;
2
;
4
2
2
1
a
x
a
x
a
Қарастырылған теңдеу үшін (7) шарт орындалып тұр.
.
2
1
1
;
2
2
4
1
0
2
2
2
0
0
2
1
0
1
0
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x
a
a
a
a
Ендеше теңдеудің бір дербес шешімі:
.
ln
2
2
1
2
x
e
e
y
x
dx
x
x
Тексеру.
,
0
0
2
2
2
1
2
0
1
.
0
;
1
2
2
2
1
1
x
x
x
x
x
y
y
демек
табылған
шешім
орынды.
Қорыта айтқанда, түрлендіруден кейін алынатын теңдеулерді жүйе түрінде құрып,
оны шешу арқылы, (1) теңдеудің әрқилы дербес шешімдерін анықтауға мүмкіндік беретін
шарттарды айқындауға болатынын аңғару қиын емес.
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. А.А.Сыдыков, С.С.Бекназарова. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің
кейбір түрлерін зерттеп шешудің бір тәсілі. Ізденіс-Поиск,№ 4/ 2012.
2. А.А.Сыдыков, С.С.Бекназарова. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің
кейбір түрлерін бірінші коэффициенті бойынша зерттеп шешудің бір әдістемесі. Ізденіс-
Поиск,№ 4/ 2012.
3. А.А.Сыдыков, С.С.Бекназарова «Екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің
кейбір түрлерін шешуге мүмкіндік беретін теоремалар» // «Геомеханика және
жаратылыстану пәндерін оқыту проблемалары» атты халықаралық ғылыми-тәжірибелік
конференция материалдары. Қазмемқызпу. Алматы, 2012.
4. Ж. Сүлейменов «Дифференциалдық теңдеулер курсы» Алматы, 1991.
РЕЗЮМЕ
В данной статье показан один метод решения линейных однородных
дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами с
исследованием коэффициентов.
SUMMARY
The article deals with the method of solution of the linear uniform differential equations of
the second order with variable coefficients with coefficients research.
ӘОЖ 517.2
БІР ДЕРБЕС ШЕШІМІ БЕЛГІЛІ ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫ БІРТЕКТІ
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІҢ ЕКІНШІ ДЕРБЕС ШЕШІМІН
АНЫҚТАУДЫҢ БІР ТӘСІЛІ
А.А.Сыдықов - аға оқытушы, Г.Б.Утембаева - 4 курс студенті
(Алматы қ., Қазмемқызпу)
Аннотация: Жұмыста бір дербес шешімі белгілі коэффициенттері айнымалы екінші
ретті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеулердің сызықты тәуелсіз екінші дербес
шешімін анықтаудың бір тәсілі кӛрсетіледі.
Түйін сӛздер: коэффициенттер, дифференциал, квадратура.
72 Вестник Казахского государственного женского педагогического университета №1(43), 2013
Қалыпты түрде берілген коэффициенттері айнымалы екінші ретті сызықты біртекті
дифференциалдық теңдеуді қарастырайық
0
'
'
'
y
x
q
y
x
p
y
. (1)
Мұндағы
x
p
және
x
q
коэффициенттері
b
a,
интервалында берілген үзіліссіз
функциялар. Мұндай теңдеулердің жалпы шешімін құру үшін, алдымен ӛзара сызықты
тәуелсіз, яғни іргелі шешімдер жүйесін құрайтын, екі дербес шешімі анықталуға тиісті [1].
Егер (1) түрдегі теңдеудің қандай да бір дербес шешімі белгілі болса, онда оған
сызықты тәуелсіз болып табылатын екінші дербес шешімін табудың бірнеше айла –
тәсілдері бар [2,3,4]. Cоған қарамастан, біз бұл мақалада әдістемелік тұрғыда студенттер
қауымына қонымды болады деген оймен, екінші дербес шешімді оңай анықтаудың тағы
екі тәсілін кӛрсетеміз.
Сонымен (1) теңдеудің бір дербес шешімі, яғни
x
y
y
1
1
функциясы белгілі делік.
Бұл дербес шешімге сызықты тәуелсіз екінші дербес шешім
x
y
y
2
2
, келесі шартты
x
y
x
x
y
1
2
(2)
қанағаттандыруға тиісті. Мұндағы
x
коэффициенті әзірге белгісіз функция.
Екінші дербес шешімнің туындылары:
;
'
'
1
1
'
2
y
y
y
''
1
'
1
1
''
2
'
2
''
y
y
y
y
(3)
Туындылардың ӛрнектерін (1) теңдеуге қойсақ,
-ға байланысты квадратурада
шешілетін екінші ретті дифференциалдық теңдеуге келеміз. Сол теңдеуді екі рет
интегралдау арқылы
x
функциясын анықтаймыз.
0
'
'
2
''
1
'
1
1
''
1
'
1
1
y
q
y
p
y
p
y
y
y
0
'
2
''
1
'
1
1
py
y
y
dx
y
py
y
d
1
1
'
1
2
'
'
dx
y
py
y
e
C
1
1
'
1
2
1
'
2
2
1
1
1
'
1
'
C
dx
e
C
dx
y
py
y
.
Интегралдау тұрақтыларын
1
1
C
;
0
2
C
деп қабылдасақ, алатынымыз:
.
1
1
'
1
2
dx
e
x
dx
y
py
y
(4)
Ендеше, (2) шартты қанағаттандыратын сызықты тәуелсіз екінші дербес шешім:
.
1
1
'
1
2
1
2
dx
e
x
y
x
y
dx
y
py
y
(5)
1 - мысал. Бір дербес шешімі
x
e
y
1
белгілі, қарапайым
0
'
2
''
y
y
y
теңдеуінің
сызықты тәуелсіз екінші дербес шешімін анықтау.
Шешуі. (5) формула бойынша
.
2
2
2
1
2
1
1
'
1
x
x
dx
x
dx
y
py
y
xe
dx
e
dx
e
e
dx
e
x
y
x
y
Тексеру:
.
2
1
;
1
''
2
'
2
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
y
e
x
xe
e
y
Достарыңызбен бөлісу: |
