10 Коэффициенттері тұрақты n-ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Эйлер әдісі

жүктеу 200,94 Kb.

бет	1/4
Дата	20.01.2022
өлшемі	200,94 Kb.
	#33890

1 2 3 4

14 апта д

10.1 Сипаттамалық теңдеудің түбірлері әртүрлі болған жағдайда біртекті сызықты жүйенің іргелі шешімдер жүйесі мен жалпы шешімін құру

10 Коэффициенттері тұрақты n-ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Эйлер әдісі
Эйлер әдісі. Мынадай сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық
(10.1),
немесе

(10.1^/)
Мұндағы коэффициенттері тұрақты шамалар, ал функциялары аралығындағы х тің үздіксіз функциялары. Біртекті емес жүйелерді интегралдау оған сәйкес біртекті жүйелерді интегралдауға әкелетінін ескере отырып алдымен біртекті жүйенің жалпы шешімін құруды қарастырайық
(10.2)

10.1 Сипаттамалық теңдеудің түбірлері әртүрлі болған жағдайда біртекті сызықты жүйенің іргелі шешімдер жүйесі мен жалпы шешімін құру
Біртекті (10.2) ші жүйенің дербес шешімдерін мына түрде іздейік
(10.3),
Мұндағы және - қандай да бір тұрақты сандар. Сонымен қатар сандары бір уақытта бәрі бірдей нөлге тең емес.

Әрі қарай (10.3) ті (10.2) ге қойып, ке қысқартып сандарын табу үшін мынадай жүйе аламыз

(10.4),
Бізге бұл жүйенің нөлге тең емес шешімдері керек. Ал мұндай шешімдер біртекті жүйенің анықтауышы нөлге тең болғанда ғана бар болады, яғни
(10.5),
Бұл (10.5) теңдеу (10.2) жүйенің сипаттамалық теңдеуі деп аталады. Оның түбірі сипаттауыш сандар, ал - сипаттауыш анықтауыш деп аталады.

1) Енді сипаттамалық (10.5) теңдеудің түбірлері - әртүрлі болған жағдайды қарастырайық. Бұл жағдайда: , бірақ .

Сондықтан (10.4) жүйедегі ның орнына қойып, алынған жүйенің
(10.6),
матрицасының
(10.7),
рангсі ге тең. Шынында да, ні есептейік
(10.8)
Мұндағы анықтауышы анықтауышының элементтерінің алгебралық толықтауыштары.

Ал болғандықтан (10.8) қосындыдан ең болмағанда ретті бір анықтауыш, атап айтқанда анықтауыштарының біреуі нөлден өзгеше болады.

Сондықтан кеңейтілген матрицаның рангі ге тең.

Олай болса, (10.6) жүйенің теңдеулерінің біреуі қалғандарының сілемі болады да, бұл жүйенің кез келген пропорционалдық көбейткішіне дейінгі дәлдікпен анықталған нөлдік емес шешімі бар болады

(10.9)
Әдетте үшін анықтауышының кез келген бәрі нөлге тең емес жатық жолының элементтерінің алгебралық толықтауышын алады.

Осы (10.9) формуладағы көбейткішін белгілеп алып (10.6) жүйенің шешімдерін табамыз.

Сол сияқты (10.3) те ның орнына біртіндеп лерді, ал дердің орнына тиісінше (10.6) жүйенің шешімін қойып ((10.6) формуламен анықталған) жүйенің n шешімін аламыз
(10.10),
Бұл шешімдер арасында сызықты тәуелсіз, яғни олар іргелі шешімдер жүйесін құрайды. Сонда жалпы шешімнің түрі
(10.11),
2) Сипаттамалық теңдеудің түбірлері әртүрлі, бірақ олардың арасында кешен (комплекс)- түйіндес түбірлері бар болған жағдайды қарастырайық, яғни және сипаттамалық теңдеудің жай түбірлері болсын. Сонда түбіріне мынадай шешім сәйкес келеді
(10.12),
Мұндағы - комплекс сандар.

Енді

деп алып, мынадай шешімдер аламыз
(10.13)
Бұлардың нақты және жорымал бөліктерін бөліп екі нақты шешім аламыз

(10.14)
Бұл шешімдер арасында сызықты тәуелсіз. Ал түйіндес түбірлерінен жаңа сызықты тәуелсіз нақты дербес шешімдер пайда болмайды. Сондықтан ол түбірді қарастырмаймыз.

3) Егер саны сипаттамалық теңдеудің еселі түбірі болса, онда ол түбірге сәйкес шешім

(10.15)
түрінде алынады. Мұндағы дәрежелері ( ) ден артық емес көпмүшеліктер. Осы көпмүшеліктердің барлық коэффициенттерінің арасында коэффициенттері кез келген сан болады да, қалғандары солар арқылы өрнектеледі.

Практикада түбіріне сәйкес шешімді анықтағанда шешімді (10.15) түрінде іздеуге болады. Мұндағы коэффициенттерін ( )-ші дәрежелі деп есептеп, коэффициенттерін анықтау үшін (10.15) ті (10.2) ге қойып, басқаларын солар арқылы өрнектейді.

10.1-мысал

(1)
Сипаттамалық теңдеуі: немесе . . Шешімді
(2)
түрінде іздейміз. Ол үшін (2) ні (1) ге қоямыз: . Осыдан . - кез келген. Сондықтан , яғни шешімдері алынады.

Енді коэффициенттерін анықтаймыз

Сонда шешімі алынады. Жалпы шешімі

10.2-мысал

Бұл жағдайда немесе сипаттамалық теңдеуінің түбірлері - комплекс-түйіндес сандар. Сондықтан

теңдігінен аламыз. Сонда шешімі. Олай болса жалпы шешім

түрінде алынады.

10.3-мысал

Бұл жағдайда , сипаттамалық теңдеуі түбірлері тең. Шешімді мына түрде іздейміз

Осыларды теңдеулер жүйесіне қоямыз. Сонда . Осыдан . Мұндағы - кез келген сандар. деп аламыз. Сонымен

-жалпы шешім.

жүктеу 200,94 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4