Лекция 25-26. Дифференциялдық теңдеулер. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
Дифференциялдық теңдеулер теориясы жаратылыстану мен техникада кеңінен қолданылады. Дербес жағдайда, көптеген физикалық есептерді шешкенде белгісіз функцияны, оның туындылары мен тәуелсіз айнымалар арасындағы қатынастар бойынша табуға тура келеді.
Дифференциялдық теңдеу деп белгісіз белгісіз бір айнымалы немесе көп айнымалы функция болатын теңдеуді айтады. Сонымен қатар теңдеуге функциямен қатар оның туындылары да қатысады.
Егер белгісіз функция бір айнымалы функция болса, онда теңдеу қарапайым дифференциялдық теңдеу деп, ал көп айнымалы функция болса, онда-дербес туындылардағы дифференциялдық теңдеу деп аталады.
Дифференциялдық теңдеуге енетін туындының ең жоғарғы реті теңдеудің реті деп аталады.
Жалпы түрде n-реттегі қарапайым дифференциялдық теңдеуді былай жазуға болады:
F
Мысалы, 2-ретті дифференциялдық теңдеу.
Дифференциялдық теңдеуді қанағаттандыратын кез-келген функция осы теңдеудің шешімі немесе интегралы деп аталады.
Ерікті тұрақтылардың саны теңдеудің ретіне тең болатын дифференциялдық теңдеудің шешімі (егер ол бар болса) берілген дифференциялдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады.
n-ретті қарапайым дифференциялдық теңдеудің жалпы шешіуі былай жазылады:
y =
Ерікті тұрақтылардың нақты мәндеріндегі шешім дифференциялдық теңдеудің дербес шешім деп аталады. Берілген дифференциялдық теңдеудің дербес шешімі қанағаттандыратын шарттар бастапқы шарттар деп аталады. Бастапқы шарттар бойынша берілген дифференциялдық теңдеудің нақты дербес шешімін іздеу есебі Коши есебі деп аталады.
Дербес шешім бір айнымалы функция боғандықтан, оның графигі дифференциялдық теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады. Жалпы шешімге барлық интегралдық қисықтар жалпы жиыны сәйкес келеді. Ол жалпы дифференциялдық теңдеудің интегралдық қисықтар жиынтығы деп аталады.
1-ретті дифференциялдық теңдеу деп F ( немесе түріндегі теңдеуді айтады. Оның жалпы шешімінде бір ғана ерікті тұрақты болады: .
1-ретті дифференциялдық теңдеуді кейде келесі түрде жазған ыңғайлы:
.
2.Айнымалылары бөліктенетін дифференциалдық теңдеулер. Біртекті теңдеулер.
Егер және функцияларын келесі түрле жіктеуге болса: = онда теңдеуі айнымалылары бөліктенетін теңдеу деп аталады. деп болжап, осы теңдеуді ек бөліп, айнымалылары бөліктенген теңдеу аламыз:
.
Оны интегралдаймыз:
Алынған интегралдарды есептеп айнымалылары бөліктенетін теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
функциясы және аргументтеріне қатысты өлшемді біртекті функция деп аталады, егер функциясы анықталатын кез-келген үшін келесі теңдік орындалса:
Егер болса, онда функция нөлінші өлшемді біртекті функция болады:
1 – ретті дифференциалдық теңдеуі біртекті деп аталады, егер және функциялары пен -тің бірдей өлшемді біртекті функциялары болса, яғни
Шынында да, оны түрінде жазып, функциясы нөлінші біртекті функция екенін анықтаймыз, өйткені:
1-ретті дифференциалдық теңдеуді әрқашанда түрінде жазуға болатындықтан, деп алып,
Бұл теңдеу ауыстыру арқылы айнымалысы бөлінетін теңдеуге келтіріледі: Бұдан шығады.
Айнымаларын бөліктеп, содан соң интегралдап, 1-ретті біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табады.
1-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Бернулли теңдеуі.
1-ретті дифференциалдық теңдеуді сызықтық деп аталады, егер ол белгісіз функциясына және оның -туындысына қатысты сызықты болса, мұндағы және үзіліссіз функциялар. Егер болса, онда сызықтық дифференциалдық теңдеуді біртекті деп аталады, керісінше жағдайда ол біртекті емес.
Сызықтық дифференциалдық теңдеуді Бернулли әдісімен интегралдауға болады. Іздеп отырған функциясын белгісіз және функцияларының көбейтіндісі түрінде жазамыз:
болғандықтан бұл теңдеуді интегралдау келсі айнымалылары бөлектенген екі теңдеуді интегралдауға келтіріледі:
және
Бірінші теңдеуден ал екінші теңдеуден жалпы шешімдерін тауып сызықтық теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
дифференциалдық теңдеуді Бернулли теңдеуі деп аталады, мұндағы мұндағы
формуласы бойынша жаңа функциясын енгіземіз. Бұдан сонда Бернулли теңдеуі осы функцияға қатысты сызықтық теңдеуге келтірілді:
Бернулли теңдеуін, сызықтық теңдеу сияқты, ауыстырмасының көмегімен шешуге болады.
Әдебиет [1], [2], [3], [4], [5], [8].
Достарыңызбен бөлісу: | 
