Мысалдар. 1. n-өлшемді арифметикалық векторлық Fn кеңістігінде (1, 2,…, n) векторының бірлік e1,…, en векторларының базисіндегі координаталық жолы дәл сол (1, 2,…, n) кортежі болады.
2. R4 кеңістігінің a = (3, 4, 5, 6) векторының стандарт базистегі координаталық жолын табайық.
Стандарт базисті e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) векторлары құрайды. Егер a = 1e1 + 2e2 + 3e3 + 4e4 болса, онда a = 1(1, 0, 0, 0) + 2(0, 1, 0, 0) + 3(0, 0, 1, 0) + 4(0, 0, 0, 1) = (1, 2, 3, 4). Сондықтан (1, 2, 3, 4) = (3, 4, 5, 6). Сөйтіп, a = (3, 4, 5, 6) векторының стандарт базистегі координаталық жолы дәл берілген (3, 4, 5, 6) жолы болады.
3. R3 кеңістігінің а1 = (1, 1, 0), а2 = (3, –3, 4), а3 = (–2, 2, 3) векторлары барлық кеңістігінің базисін құрайтынын тексеріп, b = (7, 2, 3) векторын осы базис арқылы жіктейік.
Әуелі а1, а2, а3 векторларының координаталық бағандарынан құралған матрицаның рангін іздеуге болар еді. Одан кейін b = x1a1 + x2a2 + x3a3 жіктеуінің белгісіз x1, x2, x3 координаталарын табу керек. Бірақ, рангті іздемей коэффициенттерді тікелей іздейміз, өйткені ранг есеп шығарудың барысында табылады.
Ол үшін x1a1 + x2a2 + x3a3 = b теңдеуін векторлық түрде жазайық:
x1 + x2 + x3 = . Осыдан = немесе жүйесін шешу керек. Оның шешімі (, ,) болады. Сондықтан b = a1 + a2 – a3 немесе b векторының берілген базистегі координаталық жолы дәл осы шешім болады: (, ,).
4. Дәрежесі n-нен аспайтын көпмүшелердің F[x]n кеңістігінің 1, x, x2,…, xn базисіндегі f = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn көпмүшесінің координаталық жолы оның коэффициенттерінен құралады: (a0, a1, a2,…, an).
5. R[x]3 кеңістігінің (x – 2)3 көпмүшесінің стандарт 1, x, x2, x3 базисіндегі координаталық жолын табайық.
(x – 2)3 = (–8)·1 + 12·x + (–6)·x2 + 1·x3, сондықтан (x – 2)3 көпмүшесінің стандарт базисіндегі координаталық жолы (–8, 12, –6, 1) болады.
6. R[x]3 кеңістігінің f1 = 1, f2 = x – 1, f3 = (x – 1)2, f4 = (x – 1)3 көпмүшелері базис құрайтынын тексеріп, f = 1 + 2x + 4x2 + 3x3 көпмүшесінің сол базистегі координаталық жолын табайық.
Әуелі f1 = 1, f2 = – 1 + x, f3 = (x – 1)2 = 1 – 2x + x2, f4 = (x – 1)3 = –1 + 3x – 3x2 + x3 көпмүшелері сызықты тәуелсіз екенін тексерейік.
Осы векторлардың стандарт e1 = 1, e2 = x, e3 = x2, e4 = x3 базисіндегі координаталық жолдары f1 = (1, 0, 0, 0), f2 = (–1, 1, 0, 0), f3 = (1, –2, 1, 0), f4 = (–1, 3, –3, 1) болады. Осы векторлар базис құрайтынын тексеру және осы базистегі f көпмүшесінің координаталық жолын табу үшін алдыңғы есептегідей
x1 + x2 + x3 + x4 = немесе = , немесе . Осы жүйе сатылы, оның рангі белгісіздердің санына тең, сондықтан f1, f2, f3, f4 көпмүшелері сызықты тәуелсіз және кеңістіктің базисін құрайды.
Жүйенің шешімі (10, 19, 13, 3) болады, сондықтан 1 + 2x + 4x2 + 3x3 = 10·1 + 19·( x – 1) + 13·(x – 1)2 + 3·(x – 1)3.
7. R өрісіндегі екі өлшемді квадрат матрицалардың кеңістігінде берілген векторлар жүйесі сызықты тәуелді болатынын анықтайық. Ал сызықты тәуелді болса, жүйедегі бір векторды қалған векторлар арқылы сызықтық түрде өрнектейік:
a1 = , a2 = , a3 = , a4 = .
Векторлардың a1, a2, a3, a4 жүйесі сызықты тәуелді болғанда, тек сонда ғана x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 = теңдігінде кейбір xi нөлден өзгеше болады. x1 + x2 + x3 + x4 = болсын. Онда + + + = немесе = . Енді матрицалардың сәйкес элементтерін теңестірсе,
x 1 – 3 x 2 + 0x 3 + 0 x 4 = 0
2 x 1 + x 2 + 7x 3 + x 4 = 0
–2x1 + 2x2 – 4x3 + 2x4 = 0
x1 – 3x2 + 0x3 + 3x4 = 0
жүйесіне келеміз. Ол Гаусс әдісімен шешіледі:
A = . A матрицасының r рангі 3-ке тең, белгісіздердің сан n = 4, r < n. Сондықтан жүйенің шешімдер саны ақырсыз. Ал x1, x2, x3 – негізгі белгісіздер, x3 – еркін .
. Сондықтан , .
Осы жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін табайық. x3 = 1 деп алса, онда x1 = –3, x2 = –1, x4 = 0. Осыдан фундаментальды жүйені жалғыз a = (–3, –1, 0, 1) векторы құрайды. Жүйенің жалпы шешімі a = (–3, –, 1, 0) векторы болады, мұндағы – кез келген скаляр.
Сөйтіп, a1, a2, a3, a4 векторларының арасында –33a1 – 3a2 + 3a3 + 0a4 = қатынасы орындалады, мұндағы 3 – кез келген нөлден өзгеше скаляр. Онда a3 векторы a1, a2, a4 векторлары арқылы өрнектеледі a3 = = –3a1 – a2 + 0a4, 3 0.
Достарыңызбен бөлісу: |