§ 1. Векторлық кеңістіктің анықтамасы және мысалдары
Мысалдар. 1°. F кез келген өріс, V = { } – жалғыз векторынан құралған жиын болсын. Осы V жиынында қосуды + = деп, векторды скалярына көбейтуді = деп анықтайық. Онда V жиынына векторлық кеңістіктің барлық аксиомалары орындалады. Бұл кеңістік нөлдік кеңістік немесе мардымсыз кеңістік деп аталады.
2°. 1-Тарауда F өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық векторлық Fn кеңістігі қаралған. 1.1.1-Теореманың маңызы n-өлшемді арифметикалық векторларға осы 8 аксиома орындалатынында болады
3°. Кеңістіктегі геометриялық векторлардың (бағытталған кесінділердің) V3 жиыны нақты сандар R өрісіндегі векторлық кеңістік құрайды. Векторлық кеңістіктің барлық аксиомалары орындалатыны геометрия курсында дәлелденеді.
4°. F өрісіндегі барлық mn-өлшемді матрицалардың Fmn жиыны векторлық кеңістік құрайды. Бұл 2-тарауда дәлелденген, 2.1.1-теорема.
5°. [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіз функциялардың C[a, b] жиыны нақты сандар өрісіндегі векторлық кеңістік құрайды. Функциялардың f + g қосындысы кез келген нақты x санына (f + g)(x) = f(x) + g(x) деп, ал функцияны скалярға көбейту (f)(x) = f(x) деп анықталады.
Математикалық анализ курсында екі үзіліссіз функцияның қосындысы үзіліссіз функция болатыны дәлелденеді.
Функцияларды қосу амалы ассоциатив және коммутатив операция болатынын көруге болады.
[a, b] кесіндінің барлық нүктелерінде нөлге тең функция қосуға қатысты бейтарап элемент болады.
Кез келген функцияға қарама-қарсы функция табылады. Векторлық кеңістіктің басқа аксиомалары функциялардың C[a, b] жиынына орындалатынын көрсетуге болады.
6°. F өрісі берілсін. Барлық f : F F бейнелеулерін қарайық. Әрбір f бейнелеуін y = f(x) функциясы ретінде қарайық. F өрісіндегі функцияларды қосу және функцияны скалярға көбейту жоғарғыдай анықталады. F өрісіндегі функциялардың жиынына векторлық кеңістіктің 8 аксиоманың бәрі орындалатынын көрсетуге болады.
7°. Комплекс сандардың С жиыны нақты сандардың R өрісіндегі векторлық кеңістік құрайды. Мұнда векторлар комплекс сандар, скалярлар нақты сандар болады. Комплекс сандар өріс құрайды, сондықтан оларға векторлық кеңістіктің алғашқы 4 аксиомасы орындалады.
Ал a = + i комплекс саны және нақты саны берілсін, мұндағы , R және i – жорамал бірлік. Онда a = () + ()i комплекс сан болады. Векторлық кеңістіктің қалған аксиомалары орындалатыны комплекс сандардың қасиеттерінен шығады.
8°. F өрісіндегі көпмүшелердің F[x] жиыны векторлық кеңістік құрайды. Екі f = 0 + 1x + …+ nxn және g = 0 + 1x +…+ nxn көпмүше берілсе, онда олардың қосындысы f + g = (0 + 0) + (1 + 1)x +…+ (n + n)xn деп анықталады, яғни сәйкес коэффициенттері қосылады.
Көпмүшелердің қосу амалына векторлық кеңістіктің алғашқы 4 аксиомасы орындалатынын көрсетуге болады.
f = 0 + 1x + …+ nxn көпмүшесін скалярына көбейту f = (0) + (1)x + …+ (n)xn деп анықталады, яғни әрбір коэффициент скалярына көбейтіледі. Көпмүшелерге векторлық кеңістіктің қалған аксиомалары орындалатынын көрсетуге болады.
§ 2. Векторлардың сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі
I тарауда қаралған n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікке қаралған ұғымдардың және қасиеттердің көбі кез келген векторлық кеңістікке де орындалады: векторлардың сызықты тәуелділігінің және тәуелсіздігінің қасиеттері, эквивалент векторлар жүйелерінің анықтамасы және қасиеттері, векторлардың ақырлы жүйесінің базисі және рангі т.с.с.
Мысалдар. 1. Нөлдік векторлық кеңістікте сызықты тәуелсіз векторлар жүйелері болмайды, өйткені кеңістік жалғыз нөлдік вектордан құралады.
2. Екі a және b вектор пропорционал болғанда, сонда ғана олар сызықты тәуелді болады.
Шынында, a және b векторлары сызықты тәуелді болса, онда a + b = теңдігі орындалатын кем дегенде біреуі нөлден өзгеше , скалярлары табылады, айталық, 0. Онда a = –(–1)b.
Керісінше, a және b векторлары пропорционал болса, онда a = b. Осыдан 1 a + (– )b = . Сондықтан осы векторлар сызықты тәуелді болады.
3. Геометриялық векторлардың V3 кеңістігінде үш вектор компланар (бір жазықтыққа параллель) болғанда ғана, сызықты тәуелді болады. Ал V2 жазықтығындағы екі вектор коллинеар (бір түзуге параллель) болғанда ғана, сонда сызықты тәуелді болады.
4. Екі өлшемді квадрат матрицалардың M2(R) кеңістігінде  ,  ,  ,  матрицалары сызықты тәуелсіз болады.
5. Үзіліссіз функциялардың C[–,] кеңістігінде 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx функциялары сызықты тәуелсіз болады, n = 1, 2,...
Бұл математикалық анализдің сәйкес тақырыбында дәлелденеді.
6. Көпмүшелердің F[x] кеңістігінде 1, x, x2,…, xn көпмүшелері сызықты тәуелсіз болады, n = 1, 2,…
Шынында, λ01 + λ1x + λ2x2 +…+ λnxn = 0 болсын, яғни сол жақтағы өрнек нөлдік көпмүше болсын. Нөлдік көпмүшенің барлық коэффициенттері нөлге тең: 0 = 0, 1 = 0, 2 = 0,…, n = 0. Сондықтан 1, x, x2,…, xn көпмүшелері сызықты тәуелсіз болады, n = 1, 2,…
7. Үш өлшемді арифметикалық R3 векторлық кеңістігінде a1 = (2, 3, 2), a2 = (–1, 0, –1), a3 = (2, 2, 2) векторлары берілсін.
Осы векторлардың сызықты тәуелді болатынын, не болмайтынын анықтайық. Олар сызықты тәуелді болса, онда олардың нөлге тең болатын сызықтық комбинациясын табайық.
Векторлардың сызықты тәуелділігін, не тәуелсіздігін анықтауға олардың координаталарынан құралған матрицаның рангін табу керек. Егер матрицаның рангі векторлардың санына тең болса, онда векторлар сызықты тәуелсіз болады. Егер матрицаның рангі векторлардың санынан кем болса, онда векторлар сызықты тәуелді болады. Ал матрицаның рангін екі жолмен табуға болады. Бірінші жол: құралған квадрат матрицаның анықтауышын есептеу. Егер анықтауыш нөлден өзгеше болса, онда матрицалардың жолдары (бағандары) сызықты тәуелсіз болады. Егер анықтауыш нөлге тең болса, онда анықтауыштың жолдары (бағандары) сызықты тәуелді болады. Осыған сәйкес векторлардың сызықты тәуелдігі туралы айтуға болады.
Бірақ, есепте векторлар сызықты тәуелді болғанда олардың нөлге тең болатын мардымды сызықтық комбинациясын табу керек. Сондықтан берілген векторлардың координаталарын бағандарға жазайық: a1 =  , a2 =  a3 =  . Векторлардың сызықтық комбинациясын жазайық: x1 + x2 + x3 = . Осыдан  =  немесе  . Сөйтіп, осы біртекті жүйенің нөлден өзгеше шешімі болғанда, сонда ғана a1, a2, a3 векторлары сызықты тәуелді болады.
Жүйені зерттейік. Ол үшін жүйенің матрицасының жолдарына элементар түрлендірулерді қолданып, сатылы түрге келтіреміз:     . Матрицаның r рангі 2-ге тең, ал векторлардың n саны 3-ке тең. Ал r < n болғандықтан векторлар сызықты тәуелді болады. Енді осы жүйенің нөлден өзгеше шешімін табамыз. Ол үшін сатылы матрицаға сәйкес жүйені жазып шешеміз:
 . Жүйенің нөлден өзгеше шешімі (–2, 2, 3) болады. Сондықтан векторлардың нөлге тең болатын мардымды сызықтық комбинациясы –2a1 + 2a2 + 3a1 болады, яғни –2a1 + 2a2 + 3a1 = .
§ 3. Ішкеңістік. Векторлар жүйесінің сызықтық қабықшасы
Достарыңызбен бөлісу: |
