Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

2. Геометриялық векторлардың V₃ кеңістігінде (мұнда векторлар – бағытталған кесінділер) екі түрлі ішкеңістікті көрсетуге болады. Берілген  жазықтығына параллель векторлардың жиынын және берілген k түзуіне параллель векторлардың жиынын.

3. F өрісіндегі n-өлшемді квадрат матрицалардың F^nn кеңістігінде келесі ішкеңістіктер бар: жоғарғы үшбұрышты (диагональдан төмен нөлдер) матрицалардың VT_n(F) ішкеңістігі, диагональ матрицалардың (диагональдан тыс элементтер – нөлдік) D_n(F) ішкеңістігі.

Шынында, жоғарғы үшбұрышты екі матрицаның қосындысы жоғарғы үшбұрышты матрица болады, жоғарғы үшбұрышты матрицаны скалярға көбейтсе, онда жоғарғы үшбұрышты матрица шығады. Сондықтан жоғарғы үшбұрышты матрицалар жиыны ішкеңістік болады.

4. [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіз функциялардың C[a, b] кеңістігінде келесі ішкеңістіктерді көрсетуге болады:

а) n рет үзіліссіз дифференциалданатын функциялардың Cⁿ[a, b] ішкеңістігі және ақырсыз рет үзіліссіз дифференциалданатын функциялардың C^[a, b] ішкеңістігі;

ә) кез келген көпмүше [a, b] кесіндісінде үзіліссіз болады, сондықтан нақты коэффициентті көпмүшелердің R[x] жиыны C[a, b] кеңістігінің ішкеңістігі болады;

б) C[a, b] кеңістігінің 0 нүктесінде нөлге айналатын функциялардың жиынын C₀[a, b] деп белгілейік: C₀[a, b] = {f(x)  C[a, b] | f(0) = 0}.

Егер f, g  C₀[a, b] болса, онда f(0) = 0, g(0) = 0. Осыдан (f + g)(0) = f(0) + g(0) = 0. Сондықтан f + g  C₀[a, b].

Егер f  C₀[a, b] болса, онда f(0) = 0. Осыдан кез келген  скалярына (f)(0) = f(0) = 0. Сондықтан f  C₀[a, b].

Сөйтіп, C₀[a, b] жиыны C[a, b] кеңістігінің ішкеңістігі болады.

5. Көпмүшелердің R[x] кеңістігінде дәрежелері n санынан аспайтын көпмүшелердің R[x]_n жиыны R[x] кеңістігінің ішкеңістігі болады.

Алдыңғы мысалдағы сияқты R₀[x] бос мүшелері нөлге тең көпмүшелердің жиыны болсын. Онда R₀[x] жиыны R[x] кеңістігінің ішкеңістігі болады.

6. F өрісіндегі n белгісізді біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің жиыны n-өлшемді арифметикалық Fⁿ кеңістігінің ішкеңістігі болады. Бұл I.8.2-теоремадан шығады.

F өрісіндегі V векторлық кеңістігінің U ішкеңістігі берілсін. V кеңістігінде берілген қосу операциясын U ішкеңістіктің векторларына да қолдануға болады, оған қоса U ішкеңістігінің кез келген векторының қосындысы U ішкеңістігіне тиісті. Сондықтан V кеңістігінің қосу операциясын U ішкеңістігінің векторларына қараса, онда қосу U ішкеңістігінің (алгебралық) операция болады. Ол V кеңістігінде берілген қосу операциясының U ішкеңістігіндегі тарылтуы деп аталады.

Осыған ұқсас U ішкеңістігінің кез келген векторын скалярға көбейткеннен кейін шыққан вектор U ішкеңістігіне тиісті болады. Сондықтан U ішкеңістігінің векторларын скаляр көбейту амалы V кеңістігіндегі векторларды скалярға көбейту амалының тарылтуы деп аталады.

2. Геометриялық векторлардың V₃ кеңістігі үш компланар емес нөлден өзгеше вектордың сызықтық қабықшасы болады, өйткені кез келген вектор үш компланар емес вектордың сызықтық комбинациясы болады. Ал V₂ жазықтығы екі коллинеар емес вектордың сызықтық қабықшасы болады.

3. F өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық векторлық Fⁿ кеңістігі бірлік e₁ = (1, 0, 0,…, 0), e₂ = (0, 1, 0,…, 0),…, e_n = (0, 0, 0,…, 1) векторларының сызықтық қабықшасы болады, өйткені Fⁿ кеңістігінің кез келген векторы бірлік векторлардың сызықтық комбинациясы болады. Сонымен, Fⁿ = L(e₁, e₂, …, e_n).

4. mn-өлшемді матрицалардың векторлық F^mn кеңістігі E_ij түріндегі матрицаларының сызықтық қабықшасы болады, мұндағы E_ij матрицасының (i, j) орнында 1, қалған жерде – нөлдер. Сөйтіп, F^mn = L(E_ij), i = 1,…, m, j = 1,…, n.

5. F өрісіндегі кез келген көпмүше 1, x, x², … көпмүшелерінің сызықтық комбинациясы болады. Сондықтан көпмүшелердің F[x] кеңістігі 1, x, x², … көпмүшелер жиынының сызықтық қабықшасы болады: F[x] = L(1, x, x², …).

§ 4. Сызықтық көпбейнеліктер

_i1x₁ + _i2x₂ +… + _i1x₁ = _i, i = 1,…, m. (1)

Осы жүйеге сәйкес біртекті жүйенің түрі

_i1x₁ + _i2x₂ +… + _i1x₁ = 0, i = 1,…, m. (2)

болады. Енді M біртекті емес (1)-жүйенің шешімдер жиыны, U – біртекті (2)-жүйенің шешімдер жиыны болсын. 3.7-мысалда U жиыны n-өлшемді арифметикалық Fⁿ кеңістігінің ішкеңістігі болатыны көрсетілген. Ал a – біртекті емес жүйенің кейбір дербес шешімі болсын. Онда, I.2.3-теорема бойынша, біртекті емес (1)-жүйенің кез келген с шешімі c = a + b түрінде келтіріледі, мұндағы b – біртекті жүйенің шешімі. Осыдан біртекті емес жүйенің шешімдер жиыны Fⁿ кеңістігінің U бағытындағы сызықтық көпбейнелігі болады: M = a + U.

3. C[a, b] кеңістігінің 0 нүктесінде нөлге айналатын функциялардың C₀[a, b] жиыны ішкеңістік болады. Енді f  C[a, b] функциясы берілсін және f(0) = d болсын. M деп 0 нүктесіндегі мәні d-ға тең функциялардың жиыны болсын: M = {g  C[a, b] | g(0) = d }.

Онда M жиыны C₀[a, b] ішкеңістігінің бағытындағы сызықтық көпбейнелік болады.

Шынында, g  M болса, онда g(0) = d. Ал h = g – f болсын. Онда h(0) = g(0) – f(0) = d – d = 0 . Сөйтіп, g = f + h, h  C₀[a, b]. Осыдан M = f + C₀[a, b].

§ 5. Векторлық кеңістіктің базисі және өлшемдігі

2. I-Тарауда кез келген F өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық векторлық Fⁿ кеңістігі бірлік e₁,…, e_n векторларымен туындайтыны және осы векторлар сызықты тәуелсіз болатыны көрсетілген. Сондықтан n-өлшемді арифметикалық векторлық Fⁿ кеңістігінің бір базисін бірлік e₁,…, e_n векторлары құрайды. Осы базис Fⁿ кеңістігінің стандарт базисі деп аталады. Сондықтан dim(Fⁿ) = n.

3. F өрісіндегі көпмүшелер F[x] кеңістігі 1, x, x²,… көпмүшелерімен туындайды, өйткені кез келген көпмүше осы көпмүшелердің сызықтық комбинациясы болады. Оған қоса, 1, x, x²,… көпмүшелері сызықты тәуелсіз болады. Сондықтан F[x] кеңістігінің бір базисін 1, x, x²,… көпмүшелері құрайды. Осы базис F[x] кеңістігінің стандарт базисі деп аталады. Сөйтіп dim(F[x]) = .

Ал дәрежелері n-нан аспайтын көпмүшелердің R[x]_n кеңістігінің базисін 1, x, x²,…, xⁿ векторлары құрайды және осыдан dim(F[x]_n) = n + 1.

2. R⁴ кеңістігінің а₁ = (1, 0, 0, –1), а₂ = (2, 1, 1, 0), а₃ = (1, 1, 1, 1), а₄ = (1, 2, 3, 4), а₅ = (0, 1, 2, 3) векторларына керілген L(а₁, а₂, а₃, а₄, а₅) ішкеңістігінің өлшемдігін табайық.

3x₁ + 5x₃ = –2x₂ – 2x₄ – 7x₅

–3x₃ = 9x₅.

Енді осы жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін табамыз.

§ 6. Вектордың берілген базистегі координаталық жолы