Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	36/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 32 33 34 35 36 37 38 39 ... 47

§ 1 Векторлық кеңістіктердің сызықтық бейнелеулері

Мысалдар. 1. Кез келген векторлық V кеңістігінің кем дегенде екі түрлі сызықтық операторы болады:

2. F өрісіндегі V векторлық кеңістігі және l скаляры берілсін. Онда l: V ® V, l(a) = l a ережесімен берілген сәйкестік сызықтық оператор болады, ол коэффициенті l болатын гомотетия операторы деп аталады. Егер l = 0 болса, онда ол нөлдік (a) =

операторы болады. Егер l = 1 болса, онда ол тепе-теңдік оператор болады:  (a) = a.

3. [a, b] кесіндідегі ақырсыз рет үзіліссіз дифференциалданатын функциялардың C^¥[a, b] кеңістігін қарайық. Кез келген f функциясына d сәйкестігі туындысын сәйкес қойсын: d(f) = f¢. Қосындысының туындысы туындылардың қосындысына тең және (f)’ = (f’). Сондықтан осы сәйкестік сызықтық оператор болады, ол дифференциалдау операторы деп аталады.

4. F өрісіндегі квадрат n-өлшемді A матрицасы берілсін. Кез келген a = (₁, ₂,…, _n) Î Fⁿ векторына j(a) = А  (₁, ₂,…, _n)^T деп берілсін. Онда j сәйкестігі n-өлшемді арифметикалық векторлық Fⁿ кеңістігінің сызықтық операторы болады.

Шынында, a = (₁, ₂,…, _n) және b = (₁, ₂,…, _n) векторлары берілсе, онда j(a + b) = А  [(₁, ₂,…, _n)^T + (₁, ₂,…, _n)^T]. Матрицаларды қосу операциясы көбейтуге қатысты дистрибутив болады, сондықтан j(a + b) = А  (₁, ₂,…, _n)^T + А  (₁, ₂,…, _n)^T = j(a) + j(b). Сөйтіп, j сәйкестігі қосу операциясын сақтайды.

Одан әрі j(la) = А  (l₁, l₂,…, l_n)^T = l[А  (₁, ₂,…, _n)^T] = lj(a). Сөйтіп, j сәйкестігі сызықтық оператор болады.

5. Векторлық V кеңістігі екі U және W ішкеңістіктерінің тура қосындысы болсын: V = U Å W. Кез келген a Î V векторы бірмәнді a = b + c түрінде келтіріледі, мұндағы b U, c  W. Егер j бейнелеуі a векторына U ішкеңістігіндегі b компонентасын сәйкес қойса, онда j сызықтық оператор болады. Осы оператор U ішкеңістігіне проекциялау операторы деп аталады.

6. R³ кеңістігінде j: R³ ® R³ бейнелеуін кез келген a = (₁, ₂, ₃) векторына j(a) = (2₁ + ₂, 3₁ + ₃, 4₂ + ₃) деп берілсін.

a = (₁, ₂, ₃) векторы және  скалярына j(a) = (2₁ + ₂, 3₁ + ₃, 4₂ + ₃), a = (₁, ₂, ₃), j(a) = (2₁ + ₂, 3₁ + ₃, 4₂ + ₃) = (2₁ + ₂, 3₁ + ₃, 4₂ + ₃) = j(a). Сондықтан j(a) = j(a).

Осыған ұқсас кез кезген a, b векторларына j(a + b) = j(a) + j(b) болатынын көрсетуге болады. Сондықтан j сәйкестігі R³ кеңістігінің сызықтық операторы болады.

§ 2. Сызықтық оператордың матрицасы

Мысалдар. 1. Векторлық V кеңістігінің e₁, e₂,..., e_n базисі берілсін. Онда тепе-теңдік  операторына (e₁) = e₁,  (e₂) = e₂,…,  (e_n) = e_n. Сондықтан тепе-теңдік оператордың кез келген базистегі матрицасы n-өлшемді бірлік матрица болады.

Нөлдік операторына (e₁) =

, (e₂) =

,…, (e_n) =

болғандықтан, нөлдік оператордың кез келген базистегі матрицасы n-өлшемді нөлдік квадрат матрица болады.

2. Гомотетия l: V ® V, l(х) = l х, операторының кез келген e₁, e₂,..., e_n базисіндегі матрицасы

түріндегі скаляр матрица болады.

3. Дәрежелері n-нан аспайтын көпмүшелердің R[x]_n кеңістігінде (1) = 0, (x) = 1, (x²) = 2x,…, (xⁿ) = nxⁿ^–1. Сондықтан дифференциалдау операторының стандарт 1, x, x²,…, xⁿ базисіндегі матрицасының түрі

болады.

4. 3-өлшемді арифметикалық векторлық R³ кеңістігін қарайық. Егер a векторының стандарт e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1) базисіндегі координаталық жолы (₁, ₂, ₃) болса, онда j(a) векторының берілген базистегі координаталық жолы (2₁ + ₂, 3₁ + ₃, 4₂ + ₃) деп беріледі. j операторының стандарт базистегі A_j матрицасын табайық. Ол үшін формула бойынша j(e₁), j(e₂), j(e₃) векторларының координаталарын табамыз.

j(e₁) = (21 + 0, 31 + 0, 40 + 0) = (2, 3, 0), j(e₂) = (20 + 1, 30 + 0, 41 + 0) = (1, 0, 4), j(e₃) = (20 + 0, 30 + 1, 40 + 1) = (0, 1, 1). Осыдан A_j =

§ 3. Сызықтық оператордың әртүрлі базистердегі матрицаларының арасындағы байланыс

Мысалдар. 1°. R² кеңістігіндегі сызықтық j операторының стандарт (ескі) e₁ = (1, 0), e₂ = (0, 1) базисіндегі матрицасы A_φ =

болсын. Оператордың (жаңа) e₁ = (1, 1), e₂ = (1, 2) базисіндегі A_φ матрицасын табайық.

Ескі базистен жаңа базиске көшу матрицасы T =

болады. Ал T^–1 =

. 3.1-теорема бойынша, A_φ = T^–1× A_φ × T =

.

2°. R³ кеңістігінің сызықтық  операторының (ескі) e₁ = (8, –6, 7), e₂ = (–16, 7, –13), e₃ = (9, –3, 7) базисіндегі A_ =

матрицасы берілсін. Оператордың (жаңа) e'₁ = (1, –2, 1), e'₂ = (3, –1, 2), e'₃ = (2, 1, 2) базисіндегі матрицасын табайық.

Әуелі ескі базистен жаңа базиске көшу T = (_ij) матрицасын табайық. Анықтама бойынша,

. Осы теңдіктерді матрицалық былай да жазуға болады:

= ₁₁

+ ₂₁

+ ₃₁

· T¹,

= ₁₂

+ ₂₂

+ ₃₂

· T²,

= ₁₃

+ ₂₃

+ ₃₃

· T³. Осыдан

· T және T =

∙

. Ал

. Осыдан T =

∙

. Ал T^–1 =

.

Енді оператордың жаңа базисітегі матрицасын есептейміз: B = T^–1∙ A_ ∙ T =

∙

§ 4. Сызықтық оператордың ядросы және бейнесі

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 32 33 34 35 36 37 38 39 ... 47