Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	31/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 27 28 29 30 31 32 33 34 ... 47

Мысал. F өрісіндегі m  n -өлшемді матрицалардың F^m^ⁿ кеңістігін қарайық. Әрбір А матрицасына оған сәйкес аударылған А^T матрицасын сәйкес қояйық: f(A) = A^T. Бұл сәйкестік кеңістіктің өзіне изоморфизм болады, өйткені (А + В)^T= А^T+ В^T және (kA)^T= k(A^T).

§ 9. Скаляр көбейтіндісі бар векторлық кеңістік

Мысалдар. 1. Геометриялық векторлардың V₃ кеңістігін қарайық. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі олардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш арқылы анықталады: (a, b) = | a |  | b |  cos(a, b). Геометрия курсында (а) – (в) қасиеттернің бәрі орындалатыны дәлелденеді.

2. Нақты сандар өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық Rⁿ кеңістігінде кез келген екі a = (₁, ₂,..., _n) және b = (₁, ₂,..., _n) векторға скаляр көбейтіндісі (a, b) = ₁₁ + ₂₂ +...+ _n_n деп анықталады.

Екі вектордың скаляр көбейтіндісі симметриялы болатыны скаляр көбейтіндінің формуласынан көруге болады.

Екі a = (₁, ₂,..., _n) және b = (₁, ₂,..., _n) вектор және  скаляры берілсін. Бір жағынан, (a, b) = ₁₁ + ₂₂ +...+ _n_n және (a, b) = (₁₁) + (₂₂) + ... + (_n_n). Екінші жағынан, a = (₁, ₂,..., _n). Сондықтан (a, b) = (₁)₁ + (₂)₂ +...+ (_n)_n. Ал скалярларға ассоциатив заң орындалады, сондықтан (a, b) = (a, b). Сөйтіп, анықталған формулаға скаляр көбейтіндісінің (б) қасиеті орындалады.

Енді үш a = (₁, ₂,..., _n), b = (₁, ₂,..., _n), c = (₁, ₂,..., _n) вектор берілсін. Онда a + b = (₁, ₂,..., _n) + (₁, ₂,..., _n) = (₁ + ₁, ₂ + ₂,..., _n + _n) және (a + b, c) = (₁ + ₁)₁ + (₂ + ₂)₂ +… + (_n + _n)_n = ₁₁ + ₁₁ + ₂₂ + ₂₂ +… + _n_n + _n_n = (₁₁ + ₂₂ +… + _n_n) + (₁₁ + ₂₂ +… + _n_n) = (a, b) + (a, c). Сөйтіп, берілген формулаға скаляр көбейтіндісінің (ә) қасиеті орындалады.

Енді (a, a) = 0 болсын. Онда (a, a) = ₁₁ + ₂₂ +...+ _n_n = ₁² + ₂² +...+ _n² = 0. Ал нақты сандардың квадраттарының қосындысы нөлге тең болса, онда берілген барлық сандар нөлге тең болады: ₁ = 0, ₂ = 0, ..., _n = 0. Сондықтан берілген формулаға скаляр көбейтіндісінің (в) қасиеті де орындалады.

Сөйтіп, (a, b) = ₁₁ + ₂₂ +...+ _n_n формуласы нақты сандар өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық Rⁿ кеңістігінде өзгеше емес скаляр көбейтіндісін береді. Осы кеңістік n-өлшемді стандарт Евклид кеңістігі деп аталады.

3. R² кеңістігінде a = (₁, ₂) және b = (₁, ₂) скаляр көбейтіндісін (a, b) = ₁₁ – ₂₂ деп берейік. Осы формулаға скаляр көбейтіндісінің (а) – (б) қасиеттері орындалатынын көрсетуге болады. Бірақ, a = (1, 1) векторына (a, a) скаляр квадраты нөлге тең болатынын көруге болады. Сондықтан осы формула R² кеңістігінде ерекше скаляр көбейтіндісін береді.

4. [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіз функциялардың C[a, b] кеңістігінде екі f және g функцияның скаляр көбейтіндісі (f, g) =

деп анықталады. Скаляр көбейтіндінің (а) – (в) қасиеттері анықталған интегралдың қасиеттерінен шығады:

а) (f, g) =

= (g, f).

ә) (f + h, g) =

= (f , g ) + (h, g).

б) (f, g) =

=  (g, f).

в) Егер (f, f) = 0, болса онда

= 0. Сондықтан кез келген x мәніне f(x) = 0, яғни f(x) нөлдік функция.

Осы кеңістік және оған ұқсас кеңістіктер функционалдық анализде толық зерттеледі. Оған қоса, мысалдың мынадай жалпылауы бар: [a, b] кесіндісіндегі үзіліссіз w(x) функциясы берілсін және

 0 болсын. Онда C[a, b] кеңістігінде скаляр көбейтіндісі екі f және g функцияға (f, g) =

деп беріледі. Мұндағы w(x) функциясы зілдеме функция деп аталады.

5. Алдыңғы мысалдағы сияқты нақты сандар өрісіндегі көпмүшелердің R[x] кеңістігінде скаляр көбейтіндісі екі f және g көпмүшеге 4-мысалдағыдай (f, g) =

формуласымен беріледі.

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 27 28 29 30 31 32 33 34 ... 47