§1. Екі еселі интеграл
Екі еселі интеграл анықталған интегралдың екі айнымалыға
тəуелді функция жағдайының жалпыламасы болып табылады.
XOY
жазықтығының тұйық
D
облысында
z = f
(
x. y
) үзіліссіз
функциясы берілсін.
D
облысын саны
п-
ге тең элементар
D
i
(
i
= 1,2,….,
n
) бөліктеріне бөлшектеп, олардың аудандарын
Δ
S
i
, ал диаметрлерін (облыс нүктелері арасындағы ең үлкен
қашықтықты)
d
i
деп белгілейміз (21-сурет). Əрбір
D
i
облысында
кез келген
М
і
(
x
і
,y
і
) нүктесін алып, сол нүктедегі
)
,
(
i
i
y
x
f
түрін -
дегі функция мəнін Δ
S
i
-ге көбейтіп, барлық
осындай көбей-
тінділерден
∑
=
∆
=
∆
+
+
∆
+
∆
n
i
i
i
i
n
n
n
S
y
x
f
S
y
x
f
S
y
x
f
S
y
x
f
1
2
2
2
1
1
1
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(
(5.1)
қосындысын тұрғызамыз. Мұндай қосынды
D
облысындағы
)
,
(
y
x
f
z
=
функциясының
интегралдық қосындысы
деп
аталады.
n
0
max
,
→
∞
→
i
d
шартында (5.1) интегралдық қосын-
дысының шегін қарастырайық. Егер осы шек бар болып жəне
ол не
D
облысының бөлшектену тəсіліне, не ондағы нүктелердің
қалай алынатынына тəуелсіз болса, онда ол
D
облысы бойынша
)
,
(
y
x
f
функциясынан алынған екі еселі интеграл
деп аталады
жəне
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
немесе
( , )
D
f x y dS
∫∫
деп белгіленеді. Сонымен, екі еселі интеграл
21-сурет
193
,
1
max
0
( , )
lim
( , )
i
n
i
i
i
ï
i
D
d
f x y dxdy
f x y
S
→∞
=
→
=
⋅ ∆
∑
∫∫
(5.2)
теңдігімен анықталады. Мұндайда
)
,
(
y
x
f
функциясы
D
облысында
интегралданатын функция
,
D -
интегралдау
облысы
,
х
жəне
у
–
интегралдау айнымалылары
,
dxdy
(немесе
dS
) –
аудан элементі
деп аталады.
Қандай да
)
,
(
y
x
f
функциясының екі еселі интегралы бола
бере ме? Бұл сұраққа дəлелдеусіз келтіретін төмендегі теорема
жауап береді.
Теорема
5.1.
(
Функция интегралдануының жеткілікті шарты).
Егер
)
,
(
y
x
f
функциясы тұйық
D
облысында үзіліссіз болса, онда
ол осы облыста интегралданады
.
§2. Екі еселі интегралдың геометриялық мағынасы
Екі еселі интеграл геометриялық тұрғыда дене көлемін
кескіндейді. Расында
∑
=
∆
⋅
n
i
i
i
i
S
y
x
f
1
)
,
(
қосындысындағы жекелеген
i
i
i
S
y
x
f
∆
⋅
)
,
(
көбейтіндісі
і-
ші цилиндр көлеміне тең. Мұндай
цилиндрлердің табанында жатқан
D
i
бөлегінің ауданы Δ
S
i
болса,
биіктігі
)
,
(
i
i
y
x
f
-ге тең, цилиндрлердің өздері үстінен
)
,
(
y
x
f
бетімен, астынан
D
D
n
i
i
=
∑
=
1
облысымен, жан-жағынан
Oz
осіне
параллель жасаушыларымен шектелген.
∑
∑
=
=
∆
≈
∆
=
n
i
i
i
i
n
i
i
S
y
x
f
V
V
1
1
)
,
(
болғандықтан шегінде
,
1
max
0
lim
( , )
i
n
i
i
i
ï
i
d
V
f x y
S
→∞
=
→
=
⋅ ∆
∑
немесе (5.2) теңдігіне сəйкес
( , )
D
V
f x y dxdy
=
∫∫
.
(5.3)
Сонымен, теріс емес
)
,
(
y
x
f
функциясынан алынған екі
еселі интеграл шамасы цилиндрлік беттің көлеміне тең, мұндағы
13–454
194
)
,
(
y
x
f
- денені жоғарыдан шектейтін бет теңдеуі. Екі еселі
интегралдың геометриялық мағынасы осындай.
§3. Екі еселі интегралдың кейбір қолданбалары
3.1.
Жазық фигураның
(
пластинканың
)
массасы
Беттік тығыздығы (
x,y
)
нүктесі
координаталарының үзіліссіз
)
,
(
y
x
ρ
функциясы болып келетін
D
жазық пластинкасының
массасын табу талап етіледі.
D
жазық пластинкасын
п
элементар
D
i
(
i
= 1,2,….,
n
) бөліктеріне бөлшектеп, олардың аудандарын
Δ
S
i
деп белгілейік. Əрбір
D
i
облысында кез келген
М
і
(
x
і
,y
і
)
нүктесін алып, сол нүктедегі
)
,
(
i
i
y
x
ρ
тығыздығын есептейміз.
D
i
облысының əрбір нүктесіндегі
)
,
(
i
i
y
x
ρ
тығыздықты жуықтап
алғанда тұрақты деп санап, оның массасын
i
i
i
i
S
y
x
m
∆
⋅
≈
)
,
(
ρ
түрінде табуымызға болады. Тұтас
D
жазық пластинкасының
m
массасы
∑
=
=
n
i
i
m
m
1
болғандықтан, оны есептеуде
∑
=
∆
⋅
≈
n
i
i
i
i
S
y
x
m
1
)
,
(
ρ
(5.4)
жуық
теңдігіне келеміз. Массаның дəл мəнін
n
0
max
,
→
∞
→
i
d
шартында (5.4) қосындысының шегі ретінде табамыз:
,
1
max
0
lim
( , )
i
n
i
i
i
ï
i
d
m
x y
S
→∞
=
→
=
ρ
⋅ ∆
∑
немесе (5.2) теңдігіне сəйкес
( , )
.
D
m
x y dxdy
= ρ
∫∫
Сонымен,
)
,
(
y
x
ρ
функциясынан алынған екі еселі инте-
гралдың сандық мəні интеграласты
)
,
(
y
x
ρ
функциясын (
x,y
)
195
нүктесіндегі осы пластинка тығыздығы деп санаған күнде
пластинка массасына тең.
3.2.
Пластинканың
статикалық моменттері
Ох
жəне
Оу
осьтеріне қатысты пластинканың
статикалық
моменттері
( , )
,
( , )
x
y
D
D
M
y x y dxdy M
x x y dxdy
=
ρ
=
ρ
∫∫
∫∫
формулалары бойынша есептеледі. Біртектес пластинка үшін
const
=
ρ
.
3.3.
Пластинканың ауырлық центрінің координаталары
/ ,
/
C
y
C
x
x
M m
y
M m
=
=
формулалары бойынша есептеледі, мұндағы
т -
пластинка
массасы, ал
M
x
, M
y
- оның координаталар осьтеріне қатысты
алынған
статикалық моменттері
. Біртектес пластинка
жағдайында бұл формулалар
,
D
D
C
C
x dxdy
y dxdy
x
y
S
S
=
=
∫∫
∫∫
түріне келеді, мұнда
S
-
D
облысының ауданы.
3.4.
Пластинканың координаталық осьтерге қатысты
алынған инерциялық моменттері
Пластинканың
Ох
жəне
Оу
осьтеріне қатысты алынған
инерциялық моменттері
2
2
( , )
,
( , )
x
y
D
D
I
y
x y dxdy
I
x
x y dxdy
=
ρ
=
ρ
∫∫
∫∫
формулалары бойынша, ал координаталар басына қатысты
алынған
инерция моменті
(
)
2
2
( , )
O
x
y
D
I
x
y
x y dxdy
I
I
=
+
ρ
=
+
∫∫
196
формуласы бойынша есептеледі. Осы формулаларда
1
)
,
(
=
y
x
ρ
деп
алынса, пластинканың геометриялық инерциялық моменттерінің
есептеу формулаларын шығарып аламыз. Екі еселі интегралдың
физикалық мағынасы осындай.
3.5.
Бет ауданын есептеу
Кез келген екі айнымалыға тəуелді функция келбеті бет
болатыны белгілі.
δ
тегіс беті
z
=ƒ(
x,y
) функция келбеті түрінде
берілсін.
δ
бетінің
хOу
жазықтығына түсірілген проекциясын
D
деп белгілейік. Осы
D
облысында ƒ(
x,y
) функциясы жəне оның
)
,
(
),
,
(
/
/
y
x
f
y
x
f
ó
õ
дербес туындылары үзіліссіз болсын. Онда
δ
бетінің ауданы
2
2
/
/
1
( , )
( , )
õ
ó
D
S
f x y
f x y
dxdy
=
+
+
∫∫
(5.5)
формулаcымен есептеледі. Сол сияқты
δ
беті
х
=ƒ(
у, z
) теңдеуі -
мен берілсе, онда
2
2
/
/
1
( , )
( , )
,
y
z
D
S
f y z
f y z
dydz
=
+
+
∫∫
мұндағы
D - уOz
жазықтығына түскен
δ
бетінің проекциясы.
Егер бет
у
=ƒ(
x, z
) теңдеуіне ие болса, онда
2
2
/
/
1
( , )
( , )
õ
z
D
S
f x z
f x z
dxdz
=
+
+
∫∫
мұндағы
D - уOz
жазықтығына түскен
δ
бетінің проекциясы.
3.6.
Жазық фигураның ауданын табу
(5.3) формуласында
ƒ(
x,y
) = 1 деп ұйғарған күнде, цилиндрлік
бет биіктігі
H
= 1 болатын тік цилиндрге айналады. Мұндай
цилиндр көлемі сандық мəні бойынша
D
табанының
S
ауданына
тең екендігі белгілі.
D
облысының
S
ауданын есептеу формуласын
S = ∫∫dxdy
(
5.6)
197
түрінде немесе поляр координаталарында
D
S
rdrd
=
ϕ
∫∫
түрінде табамыз.
Егер
D
облысы, мəселен
a≤ x ≤ b, y
1
(
x
)≤
y ≤ y
2
(
x
) теңсіздік-
терімен анықталса, онда
S
2
1
( )
( )
y
x
b
à
y x
dx
d
=
∫
∫
Ал егер
D
облысы поляр координаталарында
β
θ
α
≤
≤
,
( )
( )
θ
ρ
θ
ϕ
f
≤
≤
теңсіздіктерімен анықталса, онда
( )
( )
.
f
D
S
d d
d
d
θ
β
α
ϕ θ
= ρ ρ θ =
θ ρ ρ
∫∫
∫
∫
Мысал
.
D
:
y
2
= x, x + y =
2 болсын. Сонда
(
)
2
2
1
1
2
2
2
9
2
.
2
y
D
y
S
dxdy
dy
dx
y y dy
−
−
−
=
=
=
− −
=
∫∫
∫
∫
∫
Достарыңызбен бөлісу: |
