§24.
Тұрақты коэффициенттері жəне арнайы оң жағы бар
n-ретті (n>2) сызықтық біртектес емес дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау
п-
ретті (
п>
2) сызықтық біртектес емес
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
n
n
n
n
n
у
а х у
а х у
а
х y
а х y
f x
1
2
1
2
1
...
−
−
−
+
+
+ +
′ +
=
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық, мұнда
( ) ( )
( ) ( )
n
а х а х
а х f х
1
2
,
,...,
,
-
(
a, b
) интервалында берілген үзіліссіз
функциялар. Осы теңдеуге сəйкес біртектес теңдеу
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
n
n
n
n
n
у
а х у
а х у
а
х y
а х y
1
2
1
2
1
...
0
−
−
−
+
+
+ +
′ +
=
түрінде жазылады.
Теорема 4.8
.
(
п-ретті СБЕД теңдеуі жалпы шешімінің құ-
рылымы жөнінде
). СБЕД теңдеуінің
у
жалпы шешімі оның кез
келген
у
*
дербес шешімі мен оған сəйкес біртектес теңдеуінің
у
ɶ
жалпы шешімінің қосындысына тең, атап айтқанда
у
у
у
*
=
+
ɶ
.
п-
ретті СБЕД теңдеуінің
у
*
дербес шешімі сəйкес біртектес
теңдеудің
у
ɶ
жалпы шешімі белгілі болған жағдайда еркін
тұрақтыларды вариациялау əдісі (Лагранж əдісі) көмегімен табы-
луы мүмкін. Ол
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
п
п
у
С х у х
С х у х
С х у х
*
1
1
2
2
...
=
+
+ +
түрінде іздестіріледі, мұнда
( ) (
)
i
у х
i
n
,
1,2,...,
=
дегеніміз -
біртектес теңдеудің іргелі шешімдер жүйесін түзейтін дербес
шешімдері.
( )
i
С х
белгісіздерін анықтауға қажет теңдеулер
жүйесінің түрі:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
п
п
п
п
п
п
п
п
п
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
С х у х
С х у
х
С х у
х
С х у
х
f x
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
...
0,
...
0,
...............................................................................
...
−
−
−
′
+ ′
+ + ′
=
′
′
+ ′
′
+ + ′
=
′
+ ′
+ + ′
=
174
Алайда тұрақты коэффициенттері жəне арнайы оң жағы
бар
п-
ретті СБЕД теңдеу үшін
у
*
дербес шешімін анықталмаған
коэффициенттер əдісі бойынша табуға болады. Тұрақты
Pi
коэффициенттері жəне арнайы оң жағы бар
( )
( )
(
)
( )
n
n
n
n
n
у
р у
р у
р y
р y
f x
1
2
1
2
1
...
−
−
−
+
+
+ +
′ +
=
теңдеуінің
у
*
дербес шешімін таңдау əдісі, 23 параграфта
п
= 2
жағдайына көрсетілгендей, теңдеу реті
п >
2 болғанда да өзгеріссіз
қала береді.
Мысал.
IV
у
y
x
2
− ′ =
теңдеуін шешу керек.
Шешімі
.
у
ɶ
-
ті табамыз:
(
)
(
)
k
k
k k
k
k
4
2
1
1
0,
− =
−
+ + =
k
k
k
i
1
2
3,4
1
3
0,
1,
;
2
2
=
=
= − ±
x
x
у С
С e
e
С
x С
x
1
2
1
2
3
4
3
3
cos
sin
.
2
2
−
=
+
+
+
ɶ
Енді
у
*
-
ті табамыз:
( )
x
f х
x
e
0
2 (
⋅
=
=
( )
(
)
(
)
P x
r
y
x Ax B
Ax
Bx
*
2
1
),
1,
⋅
=
=
+
=
+
Осыдан
( )
( )
( )
( )
IV
у
Ах В
у
А у
у
///
*
*
*
*
2
,
2 ,
0,
0
′
″
=
+
=
=
=
Сонда
(
)
Ах В
x
2
2 .
−
+
=
Бұдан
А
В
1,
0.
= −
=
Демек
у
x
*
2
= −
,
ал
у
жалпы шешімі
x
x
у
у у
С
С e
e
С
x С
x
x
1
*
2
2
1
2
3
4
3
3
cos
sin
2
2
−
= +
=
+
+
+
−
ɶ
түрінде жазылады.
175
§25. Дифференциалдық теңдеулер жүйелері.
Негізгі ұғымдар
Математика, физика, техниканың (қисықсызықты қозғалу
динамикасының есептері, бірнеше электр тізбегіне құрылған
электротехниканың есептері, тізбекті түрде бірнеше бірінші ретті
химиялық реакциялар жүргізілетін жүйенің құрамын анықтау,
өрістің векторлық сызықтарын іздестіру) есептері бір емес,
бірнеше функциялардың берілуін талап етеді. Осы функциялар-
ды іздестіріп табу жүйе құрайтын бірнеше дифференциалдық
теңдеуге əкелуі мүмкін.
Дифференциалдық
теңдеулер жүйесі
деп əр теңдеуі тəуелсіз айнымалыны, ізделінді функциялар жəне
олардың
x
бойынша алынған түрлі ретті туындыларын қамтитын
дифференциалдық теңдеулер жиынтығын айтады.
Құрамында
п
ізделінді
y
1
,
y
2
, ...,
y
n
функциялары бар бірінші
ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің жалпы түрі
(
)
(
)
п
п
n
п
п
F x у у
у у у
у
F x у у
у у у
у
1
1
2
1
2
1
2
1
2
, , ,..., ; , ,...,
0,
.................................................,
, , ,..., ; , ,...,
0.
′ ′
′ =
′ ′
′ =
Туындыға қатысты шешілген бірінші ретті дифференциалдық
теңдеулер жүйесі, атап айтқанда
(
)
(
)
(
)
п
п
n
n
п
dу
f x у у
у
dx
dу
f x у у
у
dx
dу
f x у у
у
dx
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
, , ,...,
,
, , ,...,
,
.........................................
, , ,...,
=
=
=
(4.127)
түріндегі жүйені
нормаль
теңдеулер жүйесі
дейді. Мұның өзінде
теңдеу саны ізделінді функциялар санына тең болуы ұйғары лады.
Ескерту.
Көптеген жағдайда теңдеулер жүйелері мен жоғары
ретті теңдеулерді (4.127) түріндегі нормаль жүйеге келтіруге бо-
лады.
176
Осылайша, кеңістіктегі нүктенің қозғалуын сипаттайтын екін-
ші ретті
(
)
(
)
(
)
d х
F x у z t x у z
dt
d y
F x у z t x у z
dt
d z
F x у z t x у z
dt
2
1
2
2
2
2
2
3
2
, , , , , ,
,
, , , , , ,
,
, , , , , ,
=
′ ′ ′
=
′ ′ ′
=
′ ′ ′
теңдеулер жүйесі
dх
dy
dz
и
v
w
dt
dt
dt
,
,
=
=
=
жаңа айнымалыларын
енгізу арқылы
(
)
(
)
(
)
dх
и
dt
dy
v
dt
dz
w
dt
du
F x у z t u v w
dt
dv
F x у z t u v w
dt
dw
F x у z t u v w
dt
1
2
3
,
,
,
, , , , , ,
,
, , , , , ,
,
, , , , , ,
=
=
=
=
=
=
түріндегі нормаль дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтірі-
леді. Үшінші ретті
(
)
у
f x у у y
, , ,
′′′ =
′ ′′
теңдеуі
у
р y
р
q
,
′ =
′′ = ′ =
ауысымы арқасында
(
)
у
р
р
q
q
f x у p q
,
,
, , ,
′ =
′ =
′ =
нормаль теңдеулер жүйесіне айналады. Жоғарыда айтылғаннан
177
жүйелердің ішінде нормаль жүйелерді оқып-зерттеген тиімді
екені туындайды. (4.127)
жүйесінің шешімі
деп осы жүйенің əр
теңдеуін қанағаттандыратын
у
1
,
у
2
, ...,
п
у
функциялар жиын-
тығын айтады. (4.127) жүйесінің бастапқы шарттары
( )
( )
( )
п
п
у х
у
у х
у
у х
у
0
0
0
1
0
1
2
0
2
0
,
, ...,
=
=
=
(
4.128
)
түрінде жазылады. (4.127) жүйесіне қойылған Коши есебі тө-
мендегідей тұжырымдалады: (4.128) бастапқы шарттарын қана-
ғаттандыратын (4.127) жүйесінің шешімін анықтау талап етіледі.
Коши есебі шешімінің бар болуы мен жалғыздығы шарттарын
дəлелдеусіз келтірілетін келесі теорема сипаттайды.
Теорема 4.9
.
(Коши). Егер (4.127) жүйесіндегі барлық
(
)
i
п
f x у у
у
1
2
, , , ...,
функциялары өздерінің
y
i
бойынша алынған
дербес туындыларымен бірге (
п
+ 1) өлшемді кеңістігінің
кейбір
D
облысында үзіліссіз болса, онда осы облыстың əрбір
(
)
п
М х у у
у
0
0
0
0
0
1
2
, , , ...,
нүктесінде (4.128) бастапқы шарттарын
қанағаттандыратын, жүйенің жалғыз
( )
x
y
ϕ
=
( )
( )
( )
п
п
у
x у
x
у
x
1
1
2
2
,
, ...,
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
шешімі болады.
D
облысында
M
0
нүктесін (атап айтқанда, бастапқы шарттар-
ды) өзгерте отырып,
п
еркін тұрақтыларға тəуелді
(
)
(
)
п
п
п
п
у
x С С
С
у
x С С
С
1
1
1
2
1
2
, ,
, ...,
,... ,
, ,
, ...,
ϕ
ϕ
=
=
(4.129)
шешімі түрінде жазылған шексіз шешімдер жиынтығын шығарып
аламыз. Егер (4.128) бастапқы шарттары бойынша
(
)
(
)
(
)
п
п
п
п
п
x С С
С
у
x С С
С
у
x С С
С
у
0
1
1
2
1
0
2
1
2
2
0
1
2
, ,
, ...,
,
, ,
, ...,
,
......................................
, ,
, ...,
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
теңдеулер жүйесінен
п
С С
С
1
2
,
, ...,
тұрақтылары анықталатын
болса, онда (4.129) түріндегі шешімді
жүйенің жалпы шешімі
дейді.
12–454
178
Достарыңызбен бөлісу: |
