§1. Вектор аргументті сызықтық функциялар

243
1
2
1
2
(
)
( )
( ),
+
=
+
F r
r
F r
F r
                         (8.3)
1
1
(
)
( )
λ
λ
=
=
=
∑
∑
n
n
i i
i
i
i
i
F
r
F r
                             (8.4)
тендіктерінің орындалатындығы шығады.
Кез келген 
2
1
,
,
r
r
λ
 үшін (8.2) жəне (8.3) қатынастарының бір 
мезгілде орындалуын талап етсе, (8.1) шартына мəндес шартын 
шығарып алуды көрсету қиын емес.
Вектор аргументті сызықтық скаляр функциясы үшін келесі 
ұйғарым бар.
Теорема 8.1
. Кез келген вектор аргументті 
( )
ϕ
r
 сызықтық 
скаляр функциясы, аргумент пен кейбір тұрақты 
a
 вектордың 
скаляр көбейтіндісіне тең:
( )
( , ).
ϕ
≡
r
a r
                                 (8.5)
Дəлелдеме
.
 
{
}
1
2
3
, ,
e e e
 декарт базисін алсақ, онда 
3
,
2
,
1
,
=
=
i
e
x
r
i
i
.                             (8.6)
Мұнда 
x
i
 - айнымалы скалярлары 
{ }
i
e
 базисіне қатысты 
алынған 
r
 векторының координаталары. 
φ
 функциясының сы-
зықтық болуынан 
( )
(
)
( )
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
i
i
i
i
r
x e
x
e
.                       (8.7)
( )
ϕ
i
e
 скалярын 
α
i
 арқылы белгілеп,
3
3
1
1
( )
α
ϕ
=
=
=
=
∑
∑
i i
i
i
i
i
a
e
e e
                             (8.8)
векторын қарастырайық. Сонда (8.7)-ге сəйкес
( )
( , ).
ϕ
α
=
=
i
i
r
x
r a
                           (8.9)
Теорема дəлелденді.
Енді 
a
 векторының базис алынуына тəуелсіз екенін, атап
айтқанда,  бір базистен екінші базиске көшкенде мəнін 
сақтайтындығын дəлелдейік. Төменде кездесетін индекстер, 
қосымша айтылғаны болмаса, 1,2,3 мəндерін қабылдайды деп 
санаймыз.

244
Бір декарт 
{ }
i
e
 базисінің екінші 
{ }
*
i
e
 базисіне кез келген 
түрленуін қарастырайық:
0
det
,
*
≠
=
k
i
k
k
i
i
c
e
c
e
.                      (8.10)
Əрине, 
)
cos(
)
(
*
*
∧
⋅
=
⋅
=
k
i
k
i
k
i
e
e
e
e
c
                  (8.11)
болатындығы айқын. (8.10) қатынастарын 
k
e
 векторына қатысты 
шешейік, сонда
*
~
k
k
i
i
e
c
e
⋅
=
                                 (8.12)
ал
i
k
i
k
k
i
k
i
c
e
e
e
e
c
=
⋅
=
⋅
=
)
(
)
(
~
*
*
.                (8.13)
Декарт базисі үшін əрқашан 
(
)
,
δ
δ
⋅
=
=
ij
i
j
ij
e e
                             (8.14)
мұнда бұрынғыша



=
≠
=
=
.
,
1
,
,
0
j
i
j
i
ij
ij
δ
δ
                         (8.15)
(8.12) мəнін (8.14) теңдікке енгізсек,
3
1
δ
=
=
∑
ɶ ɶ
k
k
i
j
ij
k
c c
                                   (8.16)
шығады, бұл (8.13) арқасында
3
1
δ
=
=
∑
i
j
ij
k k
k
c c
                                    (8.17)
қатынастарына мəндес.
Соңғы қатынасты 
a
 векторының инвариантты екенін дəлел-
деуге қолданайық. Жаңа 
{ }
*
i
e
 базисінде
*
( )
( ,
)
ϕ
=
r
r a
                                   (8.18)
болсын. 
*
=
a
a
 болатынын дəлелдейік. (8.8) өрнегіне сүйеніп
3
*
*
*
1
(
)
ϕ
=
=
∑
i
i
i
a
e e
                               (8.19)

245
теңдігіне келеміз. Мұнда (8.10) мəнін енгізіп, 
φ
 функциясының 
сызықтық қасиетін қолданғаннан
3
3
*
1
1
1
1
2
2
3
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ϕ
ϕ
δ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=


=
=
=




=
=
+
+
=
∑
∑
k
j
k
j
i
k
i
j
i
i
k
j
i
i
kj
k
j
a
c
e c e
c c
e e
e e
e e
e e
e e
a
теңдігіне, атап айтқанда 
*
a
-ның инвариантты екеніне келеміз.
Инвариантты 
a
 векторын 
φ
 сызықтық скаляр функциясының 
градиенті 
деп есептеп,
3
1
( )
ϕ
ϕ
=
≡
=
∑
def
i
i
i
a Grad
e e
                       (8.20)
арқылы белгілейміз. 8.1-теоремаға сүйеніп,
( )
(
, )
ϕ
ϕ
=
r
Grad r
                             (8.21)
қатынасын аламыз. Бұдан скаляр көбейтіндінің қасиеті бойынша, 
Gradφ
 инвариантының геометриялық мағынасы ашылады:
( )
,
ϕ
ϕ
⊥
=
r
r
np Grad
r
   
атап айтқанда, 
Gradφ
 - аргументтің мəндерімен анықталатын ось-
терге  проекциялау нəтижесінде координаталары 
( )
ϕ
r
 функция-
сының мəндерімен беттесетін тұрақты вектор болып табы-
лады.
Сызықтық 
)
(
r
Φ
 векторлық функциясы үшін скаляр жəне 
векторлық инварианттар сəйкес скаляр жəне векторлық көбейту 
көмегімен табылады:
3
1
( ,
( )),
=
Φ =
Φ
∑
def
i
i
i
Div
e
e
                           (8.22)
3
1
(
( )).
=
Φ =
× Φ
∑
def
i
i
i
Rot
e
e
                           (8.23)
Бұл инварианттар вектор аргументті сызықтық 
Φ
вектор-
функциясының 
дивергенциясы
 (
Div
) мен 
роторы
 (
Rot
) деп ата-
лады. Векторлы базисті ауыстыруға қатысты 
Div
Φ
 жəне  
Rot
Φ

246
инварианттылығы 
Gradφ
-дың инварианттылығына ұқсас тексері-
леді. Мəселен,
{
}
3
3
*
*
*
1
1
3
1
(
(
))
( , ( ))
( , ( ))
(
( ))
.
δ
=
=
=


Φ =
Φ
=
Φ
=




=
Φ
=
Φ
=
Φ
∑
∑
∑
k
j
i
i
i
i
k
j
i
i
kj
k
j
j
j
j
Div
e
e
c c
e
e
e
e
e
e
Div
Инварианттардың геометриялық мағынасын келтірмес бұрын 
келесі жайтқа назар аударған жөн. Егер
( )
= Φ
j
j
E
e
                                 (8.24)
векторларын жəне олардың
=
i
j
j
i
E
a e
                                   (8.25)
жіктемесіне кіретін 
a
i
j 
координаталарын енгізсе, онда 
Φ
 вектор-
функциясының 
X
i 
координаталарын оның аргументтерінің 
x
i 
координаталары арқылы өрнектей аламыз. Расында да, бір 
жағынан, 
( )
,
Φ
=
i
i
r
X e
                               (8.26)
екінші жағынан, 
( )
(
)
Φ
= Φ
=
=
j
j
j
i
j
j
j i
r
x e
x E
x a e
болғандықтан,
X
i
=a
i
j
x
j
.                                       (8.27)
Сонымен, векторлық аргументті сызықтық вектор-функция-
ның берілуі 
a
i
j 
тоғыз санының берілуіне келтіріледі, ал 
функцияның өзі 
0
det
≠
i
j
a
                                  (8.28)
жағдайында кеңістік радиус-векторларының ең жалпы аффиндік 
түрлендіруін тағайындайды.
Егер 
det
0
=
i
j
a
 болса, онда (8.27) формулалары аффиндік 
емес, ерекше сызықтық түрленуге айналады.
Енді базистің (8.12) ауысымында 
a
i
j
 шамалары қалай өзге -
реді? 
*
~
k
k
i
i
i
i
e
c
X
e
X
=
болғандықтан 

247
i
k
k
i
c
X
X
~
*
=
.                                  (8.29)
Дəл осыған ұқсас мынау шығады:
k
j
j
k
c
x
x
~
*
=
.                                  (8.30)
Жаңа координаталарда (8.27)
*
*
*
=
i
i
k
k
X
a x
                                    (8.31)
түрінде өрнектелсін. Мұнда (8.29), (8.30) жəне (8.27)-ні қойғаннан
j
k
j
i
k
j
i
k
k
j
x
c
a
x
c
a
~
~
*
=
                              (8.32)
шығады. Бұл теңдіктер кез келген 
x
i
 үшін орындалғандықтан, 
i
k
k
j
k
j
i
k
c
a
c
a
~
~
*
=
 
теңдіктеріне келеміз. Бұл жалпылама теңдік 
i
 жəне 
j
индекстерінің түрлі мəндерінде тоғыз теңдікті қамтиды. Мəселен, 
i
 индексінің бекіген мəнінде
,
~
~
1
1
*
i
k
k
k
i
k
c
a
c
a
=
,
~
~
2
2
*
i
k
k
k
i
k
c
a
c
a
=
i
k
k
k
i
k
c
a
c
a
~
~
3
3
*
=
теңдіктеріне келеміз. Бұл үш теңдіктің əрқайсысын екі жағын 
бірдей сəйкес 
l
l
l
c
c
c
3
2
1
~
,
~
,
~
 шамаларына көбейтіп, сол жəне оң 
жақтарын бірыңғай қосып,
∑
∑
=
j
i
k
l
j
k
j
j
l
j
k
j
i
k
c
c
a
c
c
a
~
~
~
~
*
тендіктерін шығарып аламыз.
Бұдан (8.16) жəне (8.13) арақатынастарын қолданып, базис 
ауысуында 
a
i
j
  
шамаларының  өзгеруін көрсететін

248
i
k
j
l
k
j
i
l
c
c
a
a
~
*
=
                                   (8.33)
формулаларын қорытып шығарамыз.
i
k
c
~
 шамалары 
k
i
i
k
u
u
D
∂
∂
=
*
*
 дербес туындыларына ұқсас
түрленеді. Сонда (8.33) формуласымен берілген 
k
j
a
шамаларының 
түрлену заңы екі валентті аралас тензордың түрлену заңының 
аналогы болып келеді. Аффиндік түрлендіру теориясымен 
байланысын ескеріп, 
{ }
k
j
a
 тензорын 
аффинор
, ал 
a
i
j
 шамаларын 
оның 
компоненталары
 дейміз.
Егер 
=
i
j
j
i
a
a
болса, аффинор симметриялы атанады. Ал егер
= −
i
j
j
i
a
a
болса, онда аффинор 

жүктеу 2,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: