77
Дирихле принципі есептерінің шешімдері,
нҧсқаулары және жауаптары
1.
Бір жылда 12 ай болғандықтан, 12 айды 12 үйшік,
170 оқушыны 170 қоян деп қарасақ
болатындықтан, Дирихле принципі бойынша туылған күнін
бір айда тойлайтын 15 оқушы табылады.
2.
Бар. себебі:
.
3.
Бір жылда 52 апта болатындықтан, 52 аптаны 52
үйшік, 59оқушыны 59 қоян деп қарасақ Дирихле принципі
бойынша кем дегенде екі оқушы туылған күнін бір аптада
тойлай алады.
4.
Бір метр ұзындықты әр біреуінің аралығы 25см
болатын тең 4 бӛлікке бӛлісіп, әрбір аралықты бір үйшік деп
қарасақ, нүктелер саны 5 болғандықтан, кем дегенде екі
нүкте бір аралыққа түседі. Демек, кем дегенде екі нүктенің
ара қашықтығы 25 сантиметрден кіші болады.
5.
20 санды тӛмендегідей 10 топқа бӛліп 10 үйшік деп
қарайық: 1, 2, 4, 8, 16; 3, 6, 12; 5, 10, 20; 7, 14; 9, 18; 11; 13; 15;
17; 19. Осы он топтағы 20 саннан кез келген 11сан алғанда,
кем дегенде екі сан бір топтан алынады. Бір топтағы сандар
біреуі енді біреуінің еселігі болғандықтан, мұндай екі сан
табылады.
6.
Оқушылардың доп алуының тӛмендегідей 9 түрлі
мүмкіндігі бар: Ф; Б; В; ФФ; ББ; ВВ; ФБ; ФВ; БВ. Біз бұл 9
мүмкіндікті 9 үйшік деп алсақ,
болғандықтан,
кем дегенде
оқушы алған доптарының түрлері
бірдей болады.
7.
5 пар сәйкестіруге кепілдік ету үшін ең жаман
жағдай бойынша талдау жасайық. Біз қызыл, сары, ақ, қара
қолғаптардың әр түрінен ең кӛп болғанда үштен ала аламыз.
Сонда әр бір түстен бір ғана пар шығады. Ал клесі қолғапты
алғанда, ол сол түстердің бірі болатындықтан, бесінші пар
шығады. Тӛрт түрлі түсті тӛрт үйшік деп қарасақ,кем
78
дегенде
қолғап алғанда ғана 5 пар
сәйкестіруге кепілдік бере аламыз.
8.
Бұл сандарды тӛмендегідей 8 топқа бӛлеміз: 1; 3, 29;
5, 27; 7, 25; 9, 23; 11, 21; 13,19; 15, 17. Осы 15 тақ саннан
кез-келген 9 сан алғанда, бір топтан алынатын кем дегенде
екі сан болатындықтан, қосындысы 32 болатын екі сан
табылады.
9.
Ең жаман жағдайды қарастырайық, яғни, 10 бірдей
түсті шарик шықпасын делік. Ақ және қара шариктер саны
10 болғандықтан, бұлардың барлығын алынуы, басқа қызыл,
жасыл, сары шариктерден ең кӛп болғанда,
шарик
ала аламыз. Демек, барлығы 37 шарик болды. Ал 38-інші
шарикті алғанда, ол не жасыл, не қызыл, не сары
болтындықтан, бірдей түсті 10 шарик болып кетеді.
Сондықтан, кем дегенде 38 шарик алу керек.
10. 100 картаны тӛмендегідей топтарға бӛлейік:
1, 6; 11, 16; 21, 26; 31, 36;
; 81, 86; 91, 96.
2, 7; 12, 17; 22, 27; 32, 37;
; 82, 87; 92, 97.
3, 8; 13, 18; 23, 28; 33, 38;
; 83, 88; 93, 98.
4, 9; 14, 19; 24, 29; 34, 39;
; 84, 89; 94, 99.
5, 10; 15, 20; 25, 30; 35, 40;
; 85, 90; 95, 100.
Жоғарыда барлығы 50 топ, әр топтағы екі санның
айырмасы 5. Сондықтан, 51 сан алғанда кем дегенде екі сан
бір топтан алынатындықтан, олардың айырмасы 5 болады.
11. І тәсіл. 2004 санды реті бойынша 8 саннан топқа
бӛлеміз:
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
(2) 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16;
(3) 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24;
…
(250) 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000;
(251) 2001, 2002, 2003, 2004.
Жоғарыдағы әр топтан айырмасы 4 болмайтын ең коп
болғанда 4 сан ала алмыз, барлығы
сан. Егер
79
әр топтағы алдыңғы 4 санды алсақ, бұл 1004 санның кез
келген екеуінің айырмасы 4болмайды.
Егер 1005 сан алсақ,
болғандықтан,
Дирихле принципі бойынша бір топтан алынған 5 немесе
5-тен артық сан болады. Тізбектес 8 натурал санның ішінде
айырмасы 4 болатын 4 жұп сан болатындықтан, бір топтағы
5 санның ішінде айырмасы 4 болатын екі сан міндетті түрде
табылады.
Сондықтан, ең кӛп дегенде 1004 сан алу керек.
ІІ тәсіл. 1-ден 2004-ке дейінгі сандарды 4-ке бӛлгендегі
қалдығы бойынша 4 топқа бӛлеміз:
(1) 1, 5, 9, … , 1989, … , 2001 (501 сан)
(2) 2, 6, 10, … , 1990, … , 2002 (501 сан)
(3) 3, 7, 11, … , 1991, … , 2003 (501 сан)
(4) 4, 8, 12, … , 1992, … , 2004(501 сан)
Бір топтағы кӛршілес екі санның айырмасы 4, әр түрлі
топтағы сандардың айырмасы 4 бола алмайтыны түсінікті.
Онда әрбір топта айырмасы 4 болмайтын ең коп болғанда
251сан ала алмыз (әрбір топтан тақ орнындағы сандарды
алуға болады: бірінші, үшінші, ...). Осылайша 4 топтан
сан болады. Егер 1005 сан алсақ,
болғандықтан, Дирихле принципі бойынша бір
топтан алынған 252 немесе 252-ден артық сан болады. Бір
топтан алынған 252 санның ішінде міндетті түрде кӛршілес
екі сан табылып, айырмасы 4 болады.
Сондықтан, ең кӛп дегенде 1004 сан алу керек.
12. Осы 20 санды тӛмендегідей 11 топқа бӛлеміз:
1, 12; 2, 13; 3, 14; 4, 15; 5, 16; 7, 18; 8, 19; 9, 20;
10; 11. Мұндағы алдыңғы 9 топтағы екі санның айырмасы
11. Кез келген 12 сан таңдап алғанда, бір топтан алынатын
екі сан міндетті түрде табылып, олардың айырмасы 11
болады.
13.
болғандықтан, Дирихле принципі
бойынша бір мектептен келген 7 оқушы табылады.
Достарыңызбен бөлісу: |
