1. вектор. Определение

n={A;B} (рис. 23)

нашей прямой. Для того чтобы точка М находилась на прямой необходимо и достаточно, чтобы векторы М₀М={x-x₀;y-y₀} и n={A;B} были перпендикулярны.

Выпишем признак перпендикулярности векторов:

M M n₀ ⋅ = 0;⇔ A x( − x₀) + B y( − y₀) = 0.

Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀; y₀) перпендикулярно вектору n={A;B}, имеет вид A(x-x₀)+B(y-y₀)=0.

М₀(x₀, y₀) перпендикулярно вектору n={A;B} A(x-x₀)+B(y-y₀)=0 раскроем скобки

и переобозначим комбинацию констант: Ax+By-Аx₀-Вy₀=0; С=-Аx₀-Вy₀;⇒ Ax+By+С=0. Полученное уравнение называется общим уравнением прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид Ax+By+С=0, где А, В – координаты вектора нормали n={A;B}.

Определение. Углом между двумя прямыми называется меньший из углов, которые они образуют.

Рассмотрим прямые, заданные различными видами уравнений.

Прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами s₁: y=k₁x+b₁; s₂: y=k₂x+b₂. Угол между прямыми (рис. 24) равен ϕ=α₂ -α₁ и, следовательно,

tgϕ = tg(α2 −α1 )= tgα2 − tgα1 = k2 − k1 .

1+ tgα₁ tgα₂ 1+ k₁k₂

Чтобы величина угла не зависела от нумерации прямых, выражение для тангенса нужно брать по модулю.

Прямые параллельны, если угол между ними равен 0^о, тангенс нуля равен нулю, следовательно, k₁=k₂.

неопределен, а это согласно формуле будет, если k₁k₂ = -1.

Признак перпендикулярности. Прямые s₁: y=k₁x+b₁; s₂: y=k₂x+b₂ перпендикулярны ⇔ k₁k₂ = -1.

Пример 9. Дана прямая y=2x-5 и точка А(1;2). А) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно исходной прямой.

Б) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно исходной прямой.

Решение. А) Будем искать уравнение прямой в виде y=k₁x+b₁. Из признака параллельности прямых следует, что угловой коэффициент исходной прямой 2 равен угловому коэффициенту искомой прямой, т.е. k₁=2 и уравнение искомой прямой принимает вид y=2x+b₁. Коэффициент b₁ найдем из условия, что прямая проходит через точку А(1;2): 2=2*1+b₁; b₁=0. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно исходной прямой, имеет вид y=2x.

Б) Будем искать уравнение прямой в виде y=k₂x+b₂. Из признака перпендикулярности прямых следует, что произведение угловых коэффициентов равно –1, т.е. 2k₂= -1; k₂= - 0,5 и уравнение искомой прямой принимает вид y=-0,5x+b₂. Коэффициент b₂ найдем из условия, что прямая проходит через точку А(1;2): 2= -0,5*1+b₂; b₂=2,5. Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно исходной прямой, имеет вид

y=-0,5x+2,5

*

Прямые заданы каноническими уравнениями

случае угол ϕ между прямыми равен углу между направляющими векторами s₁={l₁;m₁} и s₂={l₂;m₂} или смежному с ним углу (рис. 25). Косинус угла ϕ равен модулю косинуса угла между векторами и вычисляется по формуле