Задачи к разделу «Плоскость в пространстве»
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки S(2,3,4),
T(1,0,− 3), R( 4− ,2,0).
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку W( 1− ,3,7) и па-
раллельной векторам a = −{ 1, 7, − 4}, b ={2, 0, 3}.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки U(4,− 6,0),
V(0,6,4) и параллельной вектору c ={2, 5, −1}.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку D(1, − 3, 4) и параллельной плоскости АВС: A(3, 5, −1), B(0, 2,4),− C(1,−5,0).
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку K(6,− 7,1) и пер-
пендикулярной вектору n ={3, 5,1}.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку N( 4− ,− 7,0) и перпендикулярной плоскостям 2x + 5y − 3= 0, − x + 3y + 4z + 2 = 0.
Найти угол между плоскостями 2x + 5y − z + 3= 0, − x + 3y + 5z − 2 = 0.
Найти угол между плоскостью 5x − 3y − 2z + 4 = 0 и плоскостью, проходящей через точки E(2,3,4), F(1,0,− 3), G( 4− ,2,0).
При каком значении µ плоскости − x + (1− 2 )µ y + (2 + µ)z + 5 = 0, µx + 5y + 7 = 0 будут перпендикулярны, а при каком – параллельны?
Найти точку пересечения плоскостей 2x − z + 3 = 0, x + y + 4z − 4 = 0,
−3x + y − 5z +1= 0.
Найти расстояние от точки K(6,− 7,1) до плоскости −5x + 2y − 5z + 2 = 0.
100) Найти расстояние от точки G( 1− , 0, − 3) до плоскости −2
0
|
3
−1
|
0= 0.
1
|
x −1 y z + 2
10. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Канонические, параметрические уравнения прямой и прямой, проходящей через две точки, в пространстве получаются аналогично плоскому случаю
(см. п.8).
Канонические уравнения прямой в пространстве: x − x0 = y − y0 = z − z0 ,
l m n
где М0(x0;y0;z0) – начальная точка, s={l;m;n} – направляющий вектор.
|
x = x0 + lλ,
Параметрические уравнения прямой в пространстве: y = y0 + mλ,
z = z0 + nλ,
где М0(x0, y0;z0) – начальная точка, s={l;m;n} – направляющий вектор.
|
Уравнение прямой, проходящей через точки A(xa;ya;za) и B(xb;yb;zb), имеет
вид x − xа = y − ya = z − za . xb − xa yb − ya zb − za
|
Общие уравнения прямой в пространстве. Зададим прямую, как пересе-
A x1 + B y1 + C z1 + D1 = 0, чение двух плоскостей: Данные уравнения называютA x2 + B y2 + C z2 + D2 = 0.
ся общими уравнениями прямой.
Переход от общих уравнений к каноническим и параметрическим. Пусть
A x1 + B y1 + C z1 + D1 = 0, заданы общие уравнения прямой
A x2 + B y2 + C z2 + D2 = 0.
Чтобы написать канонические и параметрические уравнения нужно знать начальную точку и направляющий вектор. Найдем две точки A и B принадлежащие нашей прямой. Для нахождения точки, следует в общих уравнениях прямой одну из переменных положить равной какой-нибудь константе, а две оставшиеся неизвестные найти, решив получившуюся систему двух уравнений с двумя неизвестными. Одну из найденных точек надо взять в качестве начальной, а в качестве направляющего вектора взять вектор AB.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 11. Найти канонические уравнения прямой 2xx−−2yy ++3zz−+21==00.,
Решение. Найдем две точки, принадлежащие нашей прямой. Положим
x=0, тогда −− 2yy++z3−z2+=1 =0,0. ⇔ −y 2=(zz−−22),+ 3z +1 = 0. ⇔ zy ==−z5.− 2, ⇔ zy ==−−5.7,
Найденная точка А(0;-7;-5) принадлежит нашей прямой. Найдем другую точку В, положив y=0:
2xx++3zz+−12==0.0, ⇔ 2x(=−3−z3z−−1)1.+ z − 2 = 0, ⇔ zx == −−03,8;z −1. ⇔ zx == −−03,8;,4. ⇔
В(-3,4;0;-0,8). Направляющим вектором прямой является вектор
АВ={-3,4;7;4,2}. Напишем канонические уравнения прямой, взяв в качестве
начальной – точку А(0;-7;-5): x = y + 7 = z + 5.
−3,4 7 4,2
Угол между прямыми. Косинус угла ϕ между прямыми
s1 : x − x1 = y − y1 = z − z1 ; s2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 вычисляется по формуле l1 m1 n1 l2 m2 n2 аналогичной для плоского случая (см.п.8):
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых
Признак параллельности прямых. Прямые s1 : x − x1 = y − y1 = z − z1 ; l1 m1 n1
s2 : 2 = y − y2 = z − z2 параллельны ⇔ когда коллинеарны направляющие x − x
l2 m2 n2
векторы s1={l1;m1;n1} и s2={l2;m2;n2} ⇔ l1 = m1 = n1 .
l2 m2 n2
Признак перпендикулярности прямых. Прямые s1 : 1 = y − y1 = z − z1 ; s2 : x − x2 = y − y2 = z − z2 перпендикулярны ⇔ x − x
l1 m1 n1 l2 m2 n2
когда перпендикулярны направляющие векторы s1={l1;m1;n1} и s2={l2;m2;n2} ⇔ s1 s2=0; ⇔ l1 l2 + m1 m2 +n1 n2=0.
|
11. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол ϕ между прямой и ее проекцией на плоскость.
Угол между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой γ равен
90+ϕ или 90-ϕ (рис. 30). Синус угла ϕ равен модулю косинуса γ и вычисляется
n⋅s Al + Bm + Cn
по формуле sinϕ = = .
n s A2 + B2 + C2 l2 + m2 + n2
Взаимное расположение прямой и плоскости
Рассмотрим плоскость, заданную общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, и
прямую, заданную каноническими уравнениями x − x0 = y − y0 = z − z0 . Пряl m n
мая может пересекать плоскость, быть ей параллельна, принадлежать плоскости.
Прямая параллельна плоскости, если вектор нормали плоскости n={A;B;C} перпендикулярен направляющему вектору прямой s={l;m;n}, т.е. n⋅s=0 ⇒
Al+Bm+Cn=0.
Прямая перпендикулярна плоскости, если вектор нормали плоскости n={A;B;C} коллинеарен направляющему вектору прямой s={l;m;n}, т.е. A = B = C . l m n
|
Прямая принадлежит плоскости, если вектор нормали плоскости n={A;B;C} перпендикулярен направляющему вектору прямой s={n;l;m}, и начальная точка прямой М0(x0;y0;z0) принадлежит плоскости, т.е. An+Bl+Cm=0 и
Ax0+By0+Cz0+D=0.
Если прямая не параллельна плоскости и не принадлежит ей, то она ее пересекает. Для того чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости нужно
Ax + By + Cz + D = 0,
решить систему уравнений x −l x0 = y −my0 = z −nz0 . При решении системы
следует перейти от канонических уравнений прямой к параметрическим, подставить выражения для x, y, z в уравнение плоскости, из получившегося урав-
нения найти параметр, а затем x, y, z.
Пример 12. При каких значениях А и y0 прямая x −1 = y − y0 = z + 2
2 3 4
принадлежит плоскости Ax −3y + z −3,5 = 0.
Решение. Выпишем условия, при которых прямая принадлежит плоскости
(см. выше): 2AA−−39y0+−42=−03,,5 = 0. ⇔ Ay0==2−,5;1.
Пример 13. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
x = 3t −1,
y = 2t + 3, и точку А(1;2;3).
z = −t + 5.
Решение. Найдем две точки, принадлежащие нашей прямой. Для этого вычислим координаты x, y, z при двух произвольных значениях параметра t.
При t=0: xy == −3,1⇒, В(-1;3;5). При t=1: xy == 25,,⇒ С(2;5;4). Напишем уравнение
z = 5. z = 4.
плоскости, проходящей через три точки А, В, С (см. п.10, с.25):
x−1 y−2 z−3x−1 y−2 z−3
−1−1 3−2 5−3= 0 ⇔−2 1 2= 0 ⇔−5(x−1)+ 4(y−2)−7(z−3)= 0;
2−1 5−2 4−31 3 1
5x+4y−7z+18=0 – уравнение искомой плоскости.
Достарыңызбен бөлісу: |
