k Рассмотрим в декартовой системе коор- 0 j M

Рассмотрим в декартовой системе коор- 0 j M₂

Вектор ОМ можно представить в виде сум- _{x Рис. 9 M'} мы (рис. 9)

ОМ=ОМ'+OM₃=OM₁+OM₂+ OM₃. Вектор ОМ₁ коллинеарен базисному вектору i и может быть получен из него умножением на координату x, т.е. ОМ₁=xi.

Аналогично, ОМ₂=yj, ОМ₃=zk.

Следовательно, ОМ= xi+ yj+ zk. Произвольный вектор разложили на линейную комбинацию базисных векторов. Коэффициенты при базисных векторах – координаты вектора.

Вычисление модуля вектора

Задача 1. Дан вектор а ={x, y, z}. Вычислить его модуль |a|.

Решение. Из теоремы Пифагора следует (рис. 9)

a = OM = OM' ² + OM₃ ² = OM₁ ² + OM₂ ² + OM₃ ² = x² + y² + z² .

Задача 2. Даны векторы а={x_а, y_а, z_а}, b={x_b, y_b, z_b}. Вычислить координаты вектора a ± b.

Решение. а=x_аi+ y_аj+ z_аk; b = x_bi+ y_bj+ z_bk. Используя свойства линейных операций получим:

a ±b = (x_ai + y_aj+ z_ak) ± (x_bi + y_bj+ z_bk) = (x_a ± x_b )i +( y_a ± y_b )j+(z_a ± z_b )k .

При сложении векторов а={x_а, y_а, z_а}, b={x_b, y_b, z_b} соответствующие координаты складываются: a ± b = {x_a ± x_b; y_a ± y_b;z_a ± z_b}.

Задача 3. Дан вектор а={x_а, y_а, z_а}. Вычислить координаты вектора λa.

Решение. а=x_аi+ y_аj+ z_аk; λа=λ(x_аi+ y_аj+ z_аk)= λx_аi+λ y_аj+ λz_аk.

При умножении вектора а={x_а, y_а, z_а} на скаляр каждая координата умножается на этот скаляр: λа={λx_а; λy_а; λz_а}.

Пример 1. Даны векторы а={1;2;-2} и b={3;1;2}. Найти 2a-3b, |2a-3b|.

Решение. 2a={2;4;-4}, 3b={9;3;6}, 2a-3b={2;4;-4}-{9;3;6} = {-7;1;-10}.

2а −3b = 7² +1² + (−10)² = 150.

Признак коллинеарности векторов

Если векторы а={x_а; y_а; z_а} и b={x_b; y_b; z_b} коллинеарны, то один из них может быть получен из второго умножением на скаляр: а=λb; ⇒

{x_а; y_а; z_а}=λ{x_b; y_b; z_b};⇒ x_а=λx_b; y_а=λy_b; z_а=λz_b; ⇒ ^xa = ^ya = ^za .

xb yb zb

линеарны.

Решение. Выпишем признак коллинеарности:

2 α 3

−3 2 β

Определение. Координатами точки М называются координаты радиус-

вектора ОМ. Обозначение: М(x, y, z).

Задача 4. Даны координаты точек

Решение. ОА+АВ=ОВ; АВ=ОВ-ОА= {x_b, y_b, z_b}-{x_а, y_а, z_а}=

={x_b- x_а; y_b- y_а; z_b- z_а} (рис. 10).

При вычислении координат вектора АВ из координат конца В(x_b; y_b; z_b) вычитаются координаты начала А(x_а; y_а; z_а): АВ={x_b- x_а; y_b- y_а; z_b- z_а}.

Задача 5. Даны координаты кон-

(рис. 11). ^x

Решение. Векторы АМ и MВ коллинеарные и, следовательно, вектор

AM ={x − x_a; y − y_a;z − z_a} может быть получен из вектора

MB = {x_b − x y; _b − y z; _b − z} умножением на скаляр |AM|/|MB|=λ:

x − x_a = λ(x_b − x),



AM = λ⋅MB;⇔ {x − x_a; y − y_a;z − z_a} = λ{x_b − x y; _b − y z; _b − z} ⇔ y − y_a = λ( y_b − y),



z − z_a = λ(z_b − z).

⇔ x = ; y = ; z = .

1+ λ 1+ λ 1+ λ

Пример 3. Отрезок AB разделен на три равные части. Найти координаты точек A и B, если координаты точек деления С=(2;4;-1), D=(5;6;0).

Решение. Точка С является серединой отрезка АD (рис. 12). Напишем формулы для нахождения середины отрезка:

xy == xA +22xD ;; 2 = xyAA22++56; ⇒xzyAAA ===−−22.;1; A(-1;2;-2). А Рис. 12 В

C

 yA + yD ⇒4 = ;

2

Точка D делит отрезок AB в отношении 2:1. Выпишем формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении:

yD = A B 6 = ;

zD = ;  3

Направляющие косинусы вектора

Углы, которые вектор a=OM={x; y; z} составляет с осями координат обозначаются через α, β, γ (рис. 13). Косинусы этих углов cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора.

Определение. Ортом вектора а называется единичный вектор е, направлен-

ный в ту же сторону, что и a.

Орт е получается из вектора а={x, y, z} делением на |a|:

Координатами орта являются направляющие косинусы: e = {cosα;cosβ;cosγ}.

Задачи к разделам 1-4

1. 
   Даны произвольные векторы a и b . Построить векторы a+b , a-b , b -a,
   

2. 
   Дано: |a|=3, |b |=4, |a-b |=6. Найти |a+b |.
   
3. 
   Дано: |a|=4, |b |=5, угол между ними π/3. Найти |a+b | и |a-b |.
   
4. 
   Дано: a={2;-3;z}, |a|=17. Найти z.
   
5. 
   Дано: AB={2;-4;6}, A(3,-4,5). Найти координаты точки В.
   
6. 
   Дано: AB={-4;-7;8}, В(-2,8,1). Найти координаты точки А.
   
7. 
   Может ли вектор составлять с координатными осями углы:
   

8. 
   Дано: α=45⁰, β=135⁰. Найти γ.
   
9. 
   Вычислить направляющие косинусы вектора a={-3;4,7}.
   
10. 
    Дан модуль вектора |a|=4 и углы α=45⁰, β=60⁰, γ=120⁰. Вычислить координаты вектора a.
    
11. 
    Дано: |a|=4, α=30⁰, β=90⁰. Вычислить координаты вектора a.
    
12. 
    Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с осями координат равные углы и его модуль равен 6.
    
13. 
    Три силы M,N,P приложены к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Построить равнодействующую силу R и найти ее величину, если |M|=3, |N|=4, |P |=5.
    

14. 
    Даны два вектора a={3;5;-1} и b ={3;5;-1}. Найти проекции на координат-
    

4) 4a-5b .

15. 
    При каких значениях x и y векторы a={x;5;-1} и b ={3;y;-1} коллинеарны.
    
16. 
    Доказать, что ABCD трапеция, где A(1,2), B(3,5), C(1,10), D(-3,4).
    
17. 
    Даны три точки A(-1,2,6), B(3,5,7), C(4,-1,1). Точки M и N середины отрезков AB и BC соответственно. Найти координаты вектора MN .
    
18. 
    Отрезок AB разделен на три части, С и D точки деления. Найти координаты
    

19. 
    Отрезок AB разделен на три части, С и D точки деления. Найти координаты