Задачи к разделу «Векторное произведение»

Задачи к разделу «Векторное произведение»

35. 
    Даны векторы a ={2, 1,3 ,− } b = {−3,0,1}. Найти векторные произведения:
    

35. 
    Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах _a и _b , если a = −{ 1, 1,3 ,− } b = {−3,2,1}.
    
36. 
    Найти высоты параллелограмма, построенного на векторах _a и _b , если a ={3, 1,1 ,− } b = {−1, 2,− 0}.
    
37. 
    Найти координаты вектора c =2a×b+b , если a = −{ 2, 1,0 ,− } b = {−1,0,2}.
    
38. 
    Найти направляющие косинусы вектора _c = _a ×_b , если a = −{ 2, 1,0 ,− } b = {−1,0,2}.
    
39. 
    Найти угол между векторами _c и d , если c = a + b , d = a ×b , a = −{ 3,0,2 ,} b = {2, 1,− 0}.
    
40. 
    Вычислить: а) (a + _b)_×(a −_b); б) (a −_b)_×(a + _b).
    
41. 
    Найти проекцию вектора a на вектор c , если c = a _×(− 2_b)−b , a ={0,4,2 ,} b = {1, 1,− 3}.
    
42. 
    Найти проекцию вектора (− 2a + 3_b) на вектор (a −_b)×c , если c = a _×(− 2b + _a), a ={1,4,2 ,} b = {2, 1,− 3}.
    
43. 
    Вычислить: (2i − j + 3k)×(i + 2 j − 4k).
    
44. 
    Найти a ×b + c ×a , если a ={1,1,1 ,} b ={0,2, 1 ,− } c ={1,0,1}.
    
45. 
    Определить коллинеарны ли векторы _c и d , если c = a _×(− 2b + _a), d = (3a)×b .
    
46. 
    Найти неизвестный вектор x, если a × x = b , a ={1,0,2 ,} b = {2, 1,− 1}.
    

7. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

|c|cosα равняется высоте параллелепипеда h со знаком "+", если угол между векторами с и d острый и высоте со знаком "-", если угол тупой. Угол α будет острым, если тройка векторов а, b, с правая. Окончательно имеем a×b·c=d·c=|d||c|cosα = ±S·h=±V.

Модуль смешанного произведения векторов а, b, с равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, т.е V=|a×b·c|.

Определение. Перестановки abc, bca, cab элементов а, b и с называются циклическими.

Утверждение. При циклической перестановке векторов а, b и с ориентация тройки векторов не меняется. Истинность данного утверждения легко про-

верить непосредственно. Например, тройки abc, bca, cab на рис. 18 правые.

Поменяем в произведении a×b c местами знаки умножения: a b×c= b×c a. Каждое произведение равно объему параллелепипеда со знаком "+" или "-". Тройки abc и bca имеют одинаковую ориентацию, т.к. одна получается из другой циклической перестановкой. Следовательно, произведения a×b c и a b×c равны, т.е. a×b c = a b×c. Так как в смешанном произведении все равно, как

расставлены знаки умножения, поэтому их не указывают и смешанное произведение обозначают аbс.

Задача 8. Даны векторы а={x_а; y_а; z_а}, b={x_b; y_b; z_b} и с={x_с; y_с; z_с}. Вычислить abс.

Решение. Используя формулы для вычисления скалярного и векторного произведения получим

 ya za {xc; yc;zc}=

abc = a×b⋅c =  yb zb 

ya za

= xcyya zza − yc xxab zzabyybc zzbc. b b

1. 
   Вычисление объемов. Из геометрического смысла смешанного произведения следует, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с равен V_п=|abc| (рис.19).
   

3 3 2 6 6

2. 
   Признак компланарности. Определение. Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
   

Решение. Точки лежат в одной плоскости, если векторы АВ, АС, AD компланарны. Запишем признак компланарности и найдем значение x:

− 3 −1 − 3

Задачи к разделу «Смешанное произведение»

48. 
    Найти смешанное произведение векторов a ={1, 2,− 1}, b = −{ 1,0,2}, c ={2, 1,− 0}.
    
49. 
    Найти смешанное произведение векторов ABACAD и DCBCAC , если
    

48. 
    На векторах _a,_b и _c построен параллелепипед. Найти его высоты, если a ={3, 2,− 1}, b = −{ 1,1,2}, c ={2, 1,− 1}.
    
49. 
    Даны координаты пяти точек - A(1,2,0), B(2,1,−1), C(2,−1,1), D(− 2,−2,1),E(0,1,−1). Найти отношение высот пирамид _ABCD и _ABCE . Высоты опущены на об-
    

48. 
    Лежат ли точки A(1,1,3), B(0,1,−3), C(2,2,0), D(1,−2,1) в одной плоскости?
    
49. 
    Компланарны ли векторы? а) (i − 2 j + k), (− 2i + j − k) и (3i − j + 2k);
    

48. 
    Вычислить a _⋅((3a + 2_b)×_b).
    
49. 
    Вычислить: а) (i× j − k)⋅k ; б) (j ×k + k)⋅i; в) ((i×k)×i)⋅k .
    
50. 
    На векторах a ={1, 2,− 0}, b = −{ 1,1,0}, c ={c_x, 1,1− } построен параллелепипед объёмом 12 куб. ед. Найти координату _cx.
    

8. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

рому должны удовлетворять координаты точки М, чтобы она принадлежала прямой. Для того чтобы точка М находилась на прямой s необходимо и достаточно, чтобы векторы М₀М={x-x₀;y-y₀} и s={l;m} были коллинеарны. Выпишем

Задача 9. Даны точки A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b). Написать уравнение прямой АВ.

Решение. Для того чтобы написать уравнение прямой достаточно знать начальную точку и направляющий вектор. В качестве начальной точки можно взять одну из точек А или В. В качестве направляющего вектора возьмем АВ={x_b-x_a; y_b-y_a}.

(рис. 21), расположенные на осях координат:

0 − a b −0 a b

вид y=kx+b.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y=kx+b, где k– угловой коэффициент равный тангенсу угла наклона прямой к оси 0x, b – отрезок, отсекаемый прямой на оси 0y.

Замечание. Прямая x=b параллельна оси 0y, наклонена к оси 0x под углом 90⁰, тангенс которого неопределен, следовательно, такая прямая не может быть описана уравнением с угловым коэффициентом.