1. вектор. Определение

жүктеу 0,67 Mb.

бет	8/16
Дата	07.01.2022
өлшемі	0,67 Mb.
	#37008

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 16

конспект лекции1

Задачи к разделу «

s1 ⋅s2 l l1 2 + m1m2 cosϕ = = .

s1 s2 l12 + m12 l22 + m22

Признак параллельности прямых, заданных каноническими уравнениями. Прямые ^s₁: x − x¹₌^y⁻^y¹; ^s₂_:^x⁻^x²₌^y⁻^y²параллельны ⇔ когда коллинеарны направляющие l1 m1 l2 m2

₁_{1 1}₂_{2 2}l¹= m¹. векторы s ={l ;m } и s ={l ;m } ⇔ l2 m2

Текст, напечатанный мелким шрифтом, является необязательным и при первом прочтении может быть пропущен.

Признак перпендикулярности прямых, заданных каноническими уравнениями. Прямые ^s₁: x − x¹₌^y⁻^y¹; ^s₂_:^x⁻^x²₌^y⁻^y²перпендикулярны ⇔ когда перпендикулярны наl1 m1 l2 m2 правляющие векторы s₁={l₁;m₁} и s₂={l₂;m₂} ⇔ s₁ s₂=0; ⇔ l₁ l₂ + m₁ m₂=0.

Прямые заданы общими уравнениями s₁: A₁x+B₁y+C₁=0; s₂: A₂x+B₂y+C₂=0. В этом случае угол ϕ между прямыми равен углу между векторами нормалей n₁={A₁;B₁} и n₂={A₂;B₂} или смежному с ним углу (рис. 26). Косинус угла ϕ равен модулю косинуса угла между нормалями и вычисляется по

формуле cosϕ = n1 ⋅n2 = A1A2 + B1B2 .

n1 n2 A12 + B12 A22 + B22

Признак параллельности прямых, заданных общими уравнениями. Прямые s₁: A₁x+B₁y+C₁=0;

s₂: A₂x+B₂y+C₂=0 параллельны ⇔ когда коллинеарны

₁_{1 1}₂_{2 2}A¹= B¹. их нормали n ={A ;B } и n ={A ;B } ⇔

A2 B2 s1

Признак перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями. Прямые s₁: A₁x+B₁y+C₁=0; s₂: A₂x+B₂y+C₂=0 перпендикулярны ⇔ когда перпендикулярны их нормали n₁={A₁;B₁} и n₂={A₂;B₂} ⇔ n₁ n₂=0; ⇔ A₁A₂ +B₁B₂=0.

Геометрическая интерпретация системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

^A^A¹₂^xx⁺+^BB¹₂^yy⁺+^CC¹₂⁼=⁰0.^;Каждое уравнение системы является общим уравнением

прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости определяет решение системы. Существует три различных случая.

Прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений. Уравнения системы задают одну прямую. Одно уравнение по-

лучается из другого умножением на константу, т.е. ^A¹= ^B¹= ^C¹.

A2 B2 C2

Чтобы решить систему, следует одно из уравнений системы отбросить, т.к. оно является следствием другого. Из оставшегося уравнения выразить одну переменную через другую, полученная формула будет описывать все множество решений.

Прямые параллельны. Согласно признаку, прямые параллельны, если

^A¹= ^B¹≠ ^C¹. В этом случае система решений не имеет.

A2 B2 C2

Прямые пересекаются. В этом случае система имеет единственное решение – точку пересечения прямых.

Задачи к разделу «Прямая на плоскости»

Даны точки A(1,2), B(−1,3). Написать уравнение прямой в различных видах – общее уравнение, каноническое, с угловым коэффициентом, в отрезках на осях.
Найти угол, образованный прямой y= 2x−1 и осью OY .
Найти пару прямых, образующих угол 45°, среди прямых y =−x , y = 5x−3, y = 2x/3− 7.
Найти параллельные прямые среди прямых 2x− y = 5, y = x+1,

6x+10 −3y = 0.

Найти перпендикулярные прямые: а) 2x−3y = 5, y = 2x+1, 6x+10 + 4y = 0;

б) x −1 = y + 2 , x + 2 = y +1, x + 3 = y + 4 ; в) 5x +10 −3y = 0, x + y =1,

2 3 5 2 −3 2 5 10

−1= (x + 3).

Найти площадь треугольника, образованного началом координат и точками

пересечения прямой ^x+ ^y=₁ с осями координат.

− 2 5

Дано уравнение прямой 5_x+ 7 −3_y= 0. Написать уравнение прямой, проходящей через точку _A(_2,−₁): а) параллельно заданной прямой; b) перпендикулярно заданной прямой.
Найти угол между прямой 2_x+ _y+1= 0 и прямой, проходящей через точки

_A(0,1) и _B(1,4).

Определить на какой прямой линии лежит точка A(2,0) - l₁:x + y −1= 0,

x −1 y + 2

l₂: = , l₃:y = 3x − 6 .

2 0

Найти координаты точки пересечения прямых 3x −1+ y = 0, x +10 + 2y = 0.
Найти координаты проекции точки A(2,1) на прямую x − 2y −1= 0.
Даны координаты трёх точек A(0,1), B(−1,3)и C(2,−2). Написать уравнения:

а) всех медиан; б) всех высот; в) всех средних линий треугольника _ABC.

Написать общее уравнение прямой, проходящей через точки А(3, -1),

В(2, 2).

Написать уравнение с угловым коэффициентом прямой, проходящей через

точку D(-3, -2) параллельно вектору d ={3,2}.

Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку N(-2, 5)

перпендикулярно прямой y=2x-5.

Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x − 3y +1= 0, y = 5x − 4 перпендикулярно первой пря-

мой.

Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух заданных: К(3; -5), М(-1; -3).
Написать уравнение прямой, проходящей через точку Q(2, 7): а) параллельно прямой 4x + 3y − 5 = 0; б) перпендикулярно прямой y = − x + 2.
Написать уравнение в отрезках прямой, проходящей через точку М(5, 1)

x = t,

параллельно прямой 

y = 3t −1.

Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку G(-7, -1/2)

x = 2 − t,

параллельно прямой 

y = 2t + 5.

Найти точку пересечения прямых 7x −11y − 3= 0, ^x+ ^y=1.

4 2

При каких значениях p и q прямые px − 6y + 2 = 0, ^x⁻³= ^y⁻^q будут пе-

2 5

ресекаться в точке I(1, 1)?

Найти угол между прямыми − +x 4y + 5 = 0, y = − x + 2.

_{x y}x = +t 5,

Найти угол между прямыми + =1,  3 −2 y = 5t +1.
Через точку J(3, -1) провести прямую, пересекающую прямую y = 2x + 5 под углом 45^о.
Вычислить углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями

x − 2 y − 3 x = 4t,

3x − 4y + 5 = 0, = , 

2 −3 y = 3t −1.

Дан треугольник ∆ABC A: ( 2− ,1), B(3, 2), C(4, − 3). Написать уравнения сторон, высот, медиан, средних линий. Найти точку пересечения медиан, основания высот. Вычислить углы треугольника, высоты.
Дан параллелограмм ABCD A: (3, −1), B(2, 3), C( 4,1).− Написать уравнения сторон, высот, диагоналей. Найти точку пересечения диагоналей, основания высот. Вычислить углы параллелограмма, высоты.
Найти расстояние от точки Q(4, -5) до прямой у=7х+1.
Написать уравнение прямой, симметричной относительно начала отсчета

прямой x + 2 = y − 3.

3 −2

Выяснить, какая из прямых находится дальше от начала отчета:

x = 7t − 2,

= −5x + 7 или 

y = 2t − 7.

При каком значении n прямые 7x + y − =1 0, ^x⁺¹₌^y будут перпендику-

n 2

лярны, а при каком – параллельны?

9. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим плоскость π, проходящую через точку M₀(x₀;y₀;z₀) перпендикулярно вектору n={A;B;C} (рис. 27). Очевидно, этим геометрическим условиям удовлетворяет единственная плоскость. Возьмем произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую нашей плоскости. Выведем условие, которому должны удовлетворять координаты точки М, чтобы она принадлежала плоскости. Для того чтобы точка М находилась на плоскости π необходимо и достаточно, чтобы векторы М₀М={x-x₀;y-y₀;z-z₀} и n={A;B;C} были перпендикулярны. Выпишем признак перпендикулярности векторов:

М₀М·n=0;⇒ A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

Уравнение A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 называется уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀), перпендикулярно вектору n={A;B;C}. Точка М₀(x₀; y₀; z₀) называется начальной точкой, а вектор n={A;B;C}– вектором нормали (нормалью).

Общее уравнение плоскости. Раскроем скобки и переобозначим комбинацию констант в уравнении A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0:

Ax+By+Cz+(-Ax₀-By₀-Cz₀)=0; -Ax₀-By₀ -Cz₀=D; Ax+By+Cz+D=0.

Уравнение Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости,

где A, B, C координаты вектора нормали n={A;B;C}.

Неполные уравнения плоскости

Если D=0, то плоскость имеет вид Ax+By+Cz=0. Точка (0;0;0) удовлетворяет уравнению плоскости ⇒ плоскость проходит через начало координат.
Если A=0, то вектор нормали n={0;B;C} перпендикулярен оси 0x, а плоскость By+Cz+D=0 параллельна оси 0x. Следовательно, если один из коэффициентов A, B, C при переменных x, y, z равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей оси координат.
Если два из коэффициентов A, B, C равны нулю, то плоскость будет параллельна двум координатным осям, т.е. будет параллельна соответствующей координатной плоскости. Например, плоскость By+D=0 параллельна плоскости 0xz.

Уравнение плоскости в отрезках на осях. Преобразуем общее уравнение плоскости следующим образом:

Ax + By + Cz + D = 0;⇒ ^x+ ^y+ ^z=1. Обозначим –D/A=a;

− D/ A − D/ B − D/C

–D/B=b; –D/C=c. Уравнение плоскости примет вид ^x+ ^y+ ^z=1. Точки

a b c

A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), расположенные на осях координат, удовлетворяют уравнению плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках на осях имеет вид ^x+ ^y+ ^z=1, где a, b, c

a b c

– отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Из аксиомы геометрии следует, что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести единственную плоскость. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки A(x_a;y_a;z_a), B(x_b;y_b;z_b), C(x_c;y_c;z_c). Возьмем произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую нашей плоскости. Векторы AM={x-x_a;y-y_a;z-z_a},

AB={x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a}, AC={x_c-x_a;y_c-y_a;z_c-z_a} компланарны. Запишем признак компланарности:

x − x_ay − y_az − z_a

AM×AB AC⋅ = 0;⇔x_b− x_ay_b− y_az_b− z_a= 0.

xc − xa yc − yа zc − za

Уравнение плоскости, проходящей через три точки A(x_a;y_a;z_a), B(x_b;y_b;z_b),

x − x_ay − y_az − z_a

C(x_c;y_c;z_c), имеет вид x_b− x_ay_b− y_az_b− z_a= 0.

xc − xa yc − ya zc − za

Замечание. Чтобы написать уравнение плоскости надо знать начальную точку и вектор нормали или три точки, принадлежащие плоскости. При решении задач следует из условия находить одну из указанных комбинаций.

Пример 10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

А(1;2;3), В(-2;3;1), параллельно вектору а={2;5;2}.

Решение. Из условия задачи следует, что векторы АВ={-2-1;3-2;1-3}= ={-3;1;-2} и а={2;5;2} параллельны плоскости. Их векторное произведение перпендикулярно плоскости и является вектором нормали, т.е.

i j k

1 −2−3 −2−3 1

n = AB×a = −3 1=12i + 2j−17k .

5 22 22 5

2 5 2

В качестве начальной точки возьмем А(1;2;3). Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку А с вектором нормали n, имеет вид

12(x −1) + 2(y − 2) −17(z −3) = 0;⇔ 12x + 2y −17z −35 = 0.

Угол между плоскостями. Признаки параллельности и перпендикулярности плоскостей

n Определение. Углом между плоскостями будем называть меньший двугранный угол, который они образуют.

Пусть даны две плоскости π₁: A₁ x+

+B₁ y+C₁ z+D₁=0; π₂: A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂=0.

Угол между плоскостями ϕ равен углу между векторами нормалей n₁={A₁;B₁;C₁} и n₂={A₂;B₂;C₂} или смежному с ним углу (рис. 28). Косинус угла ϕ равен модулю косинуса угла между нормалями и вычисляется по формуле

A A + B B + СС

Признак параллельности плоскостей

Плоскости π₁: A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁=0; π₂: A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂=0 параллельны ⇔ когдаколлинеарны их нормали n₁={A₁;B₁;C₁} и n₂={A₂;B₂;C₂}

⇔ 1 = B1 = С1 . A

A2 B2 С2

Признак перпендикулярности плоскостей

Плоскости π₁: A₁ x+B₁ y+ z+D₁=0; π₂: A₂ x+B₂ y+ z+D₂=0 перпендикулярны ⇔ когда перпендикулярны их нормали n₁={A₁;B₁;C₁} и n₂={A₂;B₂;C₂} ⇔ n₁ n₂=0; ⇔ A₁A₂ +B₁B₂+ C₁C₂= 0.

Расстояние от точки до плоскости

Задача 10. Найти расстояние от точки M(x_M;y_M;z_M) до плоскости

Ax+By+Cz+D=0.

Решение. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость (рис. 29). Возьмем на плоскости произвольную точку P(x;y;z). Расстояние d от точки М до плоскости равно модулю проекции вектора PM={x_M-x;y_M-y;z_M-z} на вектор нормали n={A;B;C}, т.е.

Точка P(x;y;z) принадлежит плоскости и удовлетворяет уравнению плоскости, следовательно, D= –Ax–By–Cz. С учетом сказанного формула для расстоя-

ния принимает вид d = AxM + ByM + CzM + D .

A2 + B2 + C2

Расстояние d от точки M(x_M;y_M;z_M) до плоскости Ax+By+Cz+D=0

Ax + By +

вычисляется по формуле d = ^{M M}^Cz^M⁺^D_.

A2 + B2 + C2

жүктеу 0,67 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 16