Тепловые свойства твердых тел

Каждому  кванту  энергии  упругой  волны  удобно  сопоставить  фонон  с  энергией 

. 

Тепловая энергия тела будет суммой энергий фононов 

.

 

(6.4) 

Суммирование  в  формуле  (6.4)  проводится  по  всем  разрешенным  значениям  частот, 

заключенных  в  первой  зоне  Бриллюэна.  С  учетом  функции  распределения  фононов  по 

частотам 

(частотный спектр фононов), тепловая энергия тела в интегральной 

форме будет иметь вид 

,

 

(6.5) 

где 

 − 

среднее значение энергии фонона. 

Следовательно,  для  определения  тепловой  энергии  кристалла,  а  затем  и  его 

теплоемкости  необходимо  знать  функцию  распределения 

D(



)

  и  среднюю  энергию 

тепловых колебаний атомов. 

В  гл  5  было  показано  (формула  5.61),  что  энергия  гармонического  квантового 

осциллятора  может  быть  представлена  в  виде  двух  слагаемых:  энергии  нулевых 

колебаний  атомов 

 и  энергии 

.  Нулевые  колебания  не  несут  тепловой 

энергии  и  без  учета  теплового  расширения  (в  гармоническом  приближении)  от 

температуры  не  зависят,  а  второе  слагаемое  характеризует  возбужденное  состояние 

системы. квант энергии возбужденного состояния называют фононом. 

Число  возбужденных  фононов 

n

,  имеющих  энергию 

,  зависит  от  величины 

возбуждающей  энергии.  Если  это  тепловая  энергия,  то  каждый  раз,  когда  температура 

возрастает  на 

, 

амплитуда  колебаний 

 возрастает 

на  величину, 

определяемую из условия 

 и равную 

.

 

(6.6) 

Энергия колебаний с частотой 

 возрастает при этом на величину энергии фонона.  

Очевидно, что при данной температуре число возбужденных фононов будет максимально 

у  наиболее  низкочастотных  колебаний.  Это  число  убывает  при  увеличении  частоты 

. 

Заметим, что величина одного кванта энергии 

, т. е. минимальная величина энергии, 

необходимая  для  возбуждения  наиболее  высокочастотных  колебаний  в  кристаллической 

решетке,  не  является  малой  величиной.  Сравнивая 

 с  энергией  классического 

осциллятора при некоторой температуре 

, т. е. приравнивая 

 и подставляя 

табличные величины и 

, находим, что 

. 

Общая  картина  энергетического  спектра  колебаний  кристаллической  решетки, 

определяемого  формулой  (5.61),  изображена  на  рис.  6.2.  Вертикальные  линии 

соответствуют разрешенным значениям частот. Разрешенные значения энергии задаются 

точками  пересечения  наклонных  прямых  с  вертикальными,  а  сами  наклонные  прямые 

соответствуют  различным  значениям  квантовых  чисел  .  Расстояние  между  точками  на 

вертикальных прямых равно кванту энергии 

.

 

 

 

Рис. 6.2. Зависимость энергии колебаний от частоты 

 

 При  температуре,  равной  нулю,  в  спектре  присутствуют  только  нулевые  колебания, 

значения  которых  даны  точками  на  наклонной  прямой 

.  Возбужденным  при 

Т

1

 

квантам  энергии  отвечают  точки,  расположенные  ниже  горизонтальной  пунктирной 

прямой 

. При температуре 

 возбуждаются колебания с частотами

 

, а 

более  высокочастотные  колебания  в  спектре  отсутствуют.  При  дальнейшем  повышении 

температуры  возбуждаются  колебания  с  более  высокими  частотами,  и  одновременно 

растет число квантов низкочастотных колебаний. Из рис. 6.2 следует, что при некотором 

значении температуры 

жүктеу 1,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: