| T
=
T
*
возбуждаются все возможные колебания системы с частотами
от
до
. Дальнейшее повышение температуры не приводит к появлению волн с
новыми частотами
, а ведет лишь к увеличению амплитуды колебаний (числа
возбужденных квантов) с каждой частотой
.
При повышении температуры в первую очередь возбуждаются низкочастотные
колебания. Экспериментальным путем было установлено, что минимальная частота
для кристалла размерами приблизительно 1 см составляет около 10
5
Гц, т. е. на восемь
порядков меньше максимальной частоты. Тогда
, т. е. низкочастотные
колебания возбуждаются уже при температуре около 10
-6
K.
Макроскопические тела представляют собой совокупность очень большого числа
частиц, движущихся по законам классической или квантовой механики. В таких системах
свойства подчиняются статистическим закономерностям.
Найдем среднее значение энергии фонона как гармонического квантового
осциллятора. Распределение фононов по состояниям при тепловом возбуждении в
гармоническом приближении подчиняются
статистике Больцмана
. В гармоническом
приближении рассматривается система невзаимодействующих фононов, т. е. ее можно
представить как
идеальный фононный газ
. Согласно статистике Больцмана, вероятность
нахождения осциллятора в
n
-м квантовом состоянии с энергией
равна [59]
.
(6.7)
Коэффициент
определяется из условия нормировки
. Следовательно,
. Таким образом,
.
(6.8)
В этом случае средняя энергия осциллятора
при заданной температуре будет
равна сумме произведений возможных энергий осциллятора
на их вероятность
:
.
(6.9)
Обозначим в (6.9)
, тогда прямым дифференцированием можно
убедиться, что
,
(6.10)
где
. Найдем величину
g
, подставив в (6.9) выражение для энергии осциллятора в
данном состоянии
:
,
где
− бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем
и первым слагаемым
. Таким образом, учитывая, что
,
получим
,
(6.11)
Отсюда
.
(6.12)
Подставляя выражение (6.12) в (6.10), получим
.
(6.13)
Первое слагаемое в формуле (6.13) соответствует нулевой энергии осциллятора, а
второе слагаемое можно рассматривать как произведение энергии фонона
на среднее
число фононов
, находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии
,
(6.14)
где
.
Значит фонон – это возбуждение кристалла над нулевым уровнем энергии,
соответствующим нулевым колебаниям атомов, совершающимся при температуре
абсолютного нуля.
Оценим количество атомов, находящихся на возбужденных уровнях при
.
Поскольку каждый атом в решетке совершает одновременно колебания со всеми
частотами
, возбужденными при данной температуре, то при
на первом
энергетическом уровне (
) для атомов, колеблющихся с частотой
,
энергия
колебаний
. Тогда
и вероятность нахождения атома в состоянии с
данным квантовым числом
n
будет
. Пользуясь этим соотношением, для
различных получим значения вероятности
:
Количество ат. %
от общего числа
1
0,232
23%
2
0,0855
8,5%
3
0,031
3,1%
Следовательно,
p
n
показывает, что на каждом энергетическом уровне при температуре
возбуждаются не все атомы: с энергией первого возбужденного уровня,
соответствующей частоте
, колеблется только приблизительно 23 % атомов, с
энергией второго – 8,5 % и третьего – 3,1 % от общего числа атомов кристалла. Таким
образом, при температуре
значительная часть атомов совершает только нулевые
колебания с частотой
.
Число атомов, возбужденных на первом энергетическом уровне при частоте
,
экспоненциально быстро уменьшается с понижением температуры. Так, при
оно
составляет около 12 %; при
− около 5 % от общего числа атомов в элементарной
ячейке; при
(несколько кельвинов) это число составляет около
(
N
−
число атомов в ячейке), т. е. в решетке практически отсутствуют возбужденные на частоте
атомы.
Следовательно,
температуру
можно
рассматривать
как
граничную
характеристическую
температуру
при достижении которой в кристалле возбуждаются
колебания со всеми возможными частотами.
При увеличении температуры выше
число
возбужденных на частоте
атомов быстро возрастает, так что при
возбуждаются
колебания
с
частотой
практически
у
всех
атомов.
Характеристическую температуру обычно называют
температурой Дебая
и обозначают
(
=
).
Используя полученную выше зависимость для средней энергии фонона (6.14),
запишем выражение для среднего значения энергии тепловых колебаний всей решетки
.
(6.15)
Поскольку нулевые колебания тепловой энергии не несут, то в (6.15) отсутствует эта
часть энергии.
Для расчета
необходимо знать функцию распределения фононов по частотам
. Однако даже для простой трехмерной структуры получить аналитическое
выражение для
очень сложно. Поэтому вычисление энергии колебаний
производится для конкретных моделей, в которых вводится предположение о виде
функции
. Существуют два основных приближения: Эйнштейна (1907) и Дебая
(1912).
Достарыңызбен бөлісу: | 
