l
ф
обратно пропорциональна величине
коэффициента фонон-фононного рассеяния
ф-ф
. При понижении температуры длина
свободного пробега
l
ф
резко возрастает вследствие сильного уменьшения плотности
фононов
. Это явление называется эффектом
вымораживания фононов
, и оно
приводит к уменьшению теплоемкости.
С учетом кубического члена в разложении потенциальной энергии взаимодействия
атомов в ряд Тейлора (5.11) связан также эффект теплового расширения твердых тел, что
приводит к выражению для разности теплоемкостей при постоянном давлении и
температуре (6.1).
Обозначим, как было сделано в главе 5, смещение атома из положения равновесия
через
u
, причем
, где
− равновесное расстояние между атомами, а
r
–
координата атома в произвольный момент времени.
В гармоническом приближении зависимость потенциальной энергии от смещения
U(u)
− параболическая функция:
,
(6.41)
т. е. атом является гармоническим осцилятором и колеблется в симметричной
потенциальной яме (рис. 6.6). При увеличении амплитуды колебаний атом переходит на
все более высокие уровни энергии
. На каждом возбужденном уровне,
соответствующем определенной температуре (
и т. д.), расстояние между ветвями
параболы (расстояния
,
и т. д.) определяет удвоенную амплитуду колебаний.
Однако значение
остается постоянным, т. е. среднее положение атома
в решетке при гармонических колебаниях не меняется.
Иначе обстоит дело при учете в разложении потенциальной энергии слагаемого,
содержащего куб смещения (
). При температуре атом будет отклоняться так же, как
и в случае параболической потенциальной ямы, влево до точки и вправо до точки на
одинаковые расстояния (рис. 6.7).
Рис. 6.6. Зависимость потенциальной
энергии взаимодействия между
двумя атомами от расстояния между
ними в гармоническом приближении
(
Т
1
2
3
) [74]
Рис. 6.7. Зависимость потенциальной энергии
взаимодействия между двумя атомами с учетом
ангармонизма колебаний (
Т
1
2
3
…) [74]
При некоторой достаточно заметной температуре (на рисунке это температуры
и т. д.) отклонения атома от положения равновесия
влево и вправо не равны и средние
значения
и т. д. будут отвечать значениям
r
, отличным от равновесного
.
Потенциальная энергия при увеличении
r
меняется медленнее, чем по гармоническому
закону, и
. Ограничиваясь третьей производной, потенциальную
энергию
можно представить в виде
,
(6.42)
где коэффициент
. Коэффициент
в уравнении (6.42) определяет степень
отклонения
от параболической зависимости и называется (как указано выше)
коэффициентом ангармонизма. Сила, действующая на осциллятор при его отклонении от
положения равновесия в ангармоническом приближении, будет иметь вид
.
(6.43)
Таким образом, при увеличении амплитуды колебаний осциллятора с возрастанием
температуры происходит увеличение среднего по времени значения его равновесной
координаты, т. е. происходит тепловое расширение твердого тела.
Для описания теплового расширения твердого тела можно воспользоваться
приближенной моделью, в которой решетка заменена на совокупность ангармонических
осцилляторов.
Свяжем коэффициент теплового расширения
(который присутствует в выражении
для удлинения тела
) с коэффициентом ангармонизма
. Относительное
изменение размера тела при нагревании равно отношению среднего значения отклонения
атома от равновесного положения
к значению равновесного расстояния между
соседними атомами :
.
(6.44)
Найдем величину среднего значения отклонения атома от положения равновесия
,
(6.45)
где функция
f
(
u
)
представляет собой вероятность отклонения атома от положения
равновесия на величину смещения
u
. По Больцману эта вероятность равна
,
(6.46)
где
А
− коэффициент нормировки.
Поскольку
− малая величина, то разложив
в ряд и ограничиваясь двумя
первыми слагаемыми, можно записать
.
(6.47)
Коэффициент нормировки
A
в уравнении (6.47) найдем из условия
.
Тогда
.
(6.48)
Второй интеграл в выражении (6.48) будет равен нулю, поскольку подынтегральная
функция нечетная.
Обозначим
, тогда, пользуясь табличными значениями интегралов, получим
.
(6.49)
Таким образом,
, следовательно,
.
Среднее значение отклонения атома от положения равновесия будет равно:
(6.50)
т. к.
Таким образом, среднее смещение атомов от положения равновесия при нагревании
пропорционально температуре и коэффициенту ангармонизма
,
и обратно
пропорционально квадрату коэффициента квазиупругой силы. Подставив
в
формулу (6.44), получим для относительного удлинения тела при нагревании
.
(6.51)
Отсюда
.
(6.52)
Уравнение (6.52) свидетельствует о том, что коэффициент теплового расширения
прямо пропорционален постоянной ангармонизма
, причем знаки их совпадают. Знак
определяется характером асимметрии потенциальной энергии
U
(
r
) вблизи положения
равновесия. Если ветвь при
r
0
меняется круче, чем при
r>r
0
, то при нагревании тело
расширяется, если наоборот, то сжимается. Если ветви симметричны, размеры тела не
изменяются.
Формула (6.44) справедлива для поликристаллических тел, и
здесь средний
коэффициент линейного теплового расширения. Монокристаллы, как мы уже выяснили в
главах 1 и 3, обладают анизотропией свойств, а следовательно, и коэффициент линейного
расширения для различных направлений внутри кристалла в общем случае будет иметь
различные значения. Если из монокристалла выточить шар, а затем нагреть или охладить
его, то при изменении температуры монокристалл потеряет сферическую форму и
превратится в трехосный эллипсоид, оси которого связаны с кристаллографическими
осями координат кристалла. Коэффициенты теплового расширения по трем
кристаллографическим осям называются главными коэффициентами теплового
расширения кристалла (они обозначаются буквами
). В табл. 6.3 [78]
приводятся главные коэффициенты теплового расширения для некоторых кристаллов, у
которых анизотропия выражена особенно ярко.
Таблица 6.3.
Достарыңызбен бөлісу: | 
