246
4)
D(S)=[3;5).
5)
- квадратичная функция (-5 < 0),
значит при
существует наибольшее значение функции, где
Но 2,5
[3;5), поэтому исследуем функцию более
подробно.
Так как на [2,5; ) f(x) , то f(3) -
наибольшее из возможных, т.е.
Геометрически это означает, что наибольший по
площади прямоугольник – это
Ответ:
=22(лин.ед.).
4. Найдите наибольшую площадь трапеции и ее периметр, если три
стороны трапеции равны а.
Решение: AB = BC = CD = a.
Дополнительное построение:
BB
1
AD, CC
1
AD, BB
1
= CC
1
.
Пусть AD = 2x.
1)
2)
3)
Так как
x > 0, то
( a > 0) D(S) = ( 0;1,5a).
247
4)
5)
.
Тогда AD = 2a и P
ABCD
= 5a.
В силу непрерывности
=
.
Ответ: наибольшую площадь трапеции равна
, а периметр
равен
.
5. Найдите наибольшую площадь и угол прямоугольного треугольника,
сумма катета которого равна m.
Решение:
1) Пусть
тогда
2)
,
т.е.
3)
4)
Так как
- непрерывна на
; то
=
5)
Учитывая
что
получим, что
значит
Ответ: при
треугольник будет иметь наибольшую площадь
, если сумма гипотенузы и катета, образующих этот угол,
равна m.
248
6. В сектор AOB радиуса R с центральным углом 2
касали
прямоугольник наибольшей площади, симметричный оси симметрии сектора.
Найдите площадь такого прямоугольника.
Пусть
1)
2)
D(S) = ( 0;Rsin ).
3)
4)
.
Тогда
249
.
=
.
Ответ: площадь наибольшего прямоугольника, который можно вписать в
сектор радиуса R с углом в 2 с общей осью симметрии, равен
(кв.ед.)
7. Из трапеции со сторонами 13 , 20 и основаниями 30 и 9 вырезали
прямоугольник наибольшей площади, причем одна из сторон прямоугольника
лежит на большем основании. Найдите эту площадь.
Решение:
1) Дополнительные построения:
BB
1
AD; CC
1
AD; тогда BB
1
=CC
1
.
2) Пусть AB
1
=x, тогда
3)
Тогда
.
4)
т.е.
5)
6) Пусть pk=n, тогда Ap=pk·
Ap=
mD= tm·
mD =
Значит pm = AD – Ap – mD, т.е. pm = 30 -
250
7)
8)
квадратичная, где a < 0, значит, при
Здесь
значит
(кв.ед.).
Ответ: из трапеции с данными условиями вырезали прямоугольник,
наибольшая площадь которого равна
(кв.ед.).
Рассмотренные примеры показывают, что применение производной
значительно облегчает решения задач и экономит время.
Литература:
1. Шахмейстер А.Х., Введение в математический анализ; изд-во
«Виктория плюс»; 2010 год, стр. 277-280, 288-290, 300-305.
ПАРАЛЛЕЛЬ ПРОЕКЦИЯЛАУ АРҚЫЛЫ КЕҢІСТІКТЕГІ
ФИГУРАЛАРДЫ КЕСКІНДЕУ
Тургынбаева А.К., Туканаев Т.Д.
Астана қ., Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ҧлттық университеті
turgynbayevaaliya@mail.ru
Қағаз бетіне із қалдыратын қҧралдар табылады, мысалы, қарындаш
немесе қалам, бірақ кеңістікте із қалдыратын сызбалық қҧрал таба алмайсыз.
Кез-келген жазық затты қағаз бетіне ешқандай кескіндеу әдістерінсіз
(ӛлшемдерінің ӛзгеруін есептемегенде) дәл ғып кескіндеуге болады.
Кеңістіктегі ҥшӛлшемді затты жазықтыққа әдістерсіз кескіндеу мҥмкін емес.
251
Оригиналды дәл кӛшіретіндей етіп моделін жасау арқылы кеңістіктегі затты
кӛшіру процессі тым қиын болғандықтан (бҧл әдіс тек арнайы жағдайларда
ғана қолданылады), кҥнделікті қолданыста кеңістіктегі заттарды жазықтыққа
кескіндеумен қанағаттанамыз. Кескіндеуге берілген затты оригинал, ал
оригиналды бейнелейтін жазық фигураны кескін деп атайды. Оригиналды
ескере отырып қай тҥрде кескінді алуға болатынын анықтайтын ережелер
жиынтығы кескіндеу әдістерін қҧрайды.
Кеңістіктегі фигураларды жазықтыққа кескіндейтін әр тҥрлі кескіндеу
әдістері бар: перспектива, изометрия және т.б. Мҧнда қарастырылып отырған
әдіс мектеп курсы геометриясындағы параллель проекциялау әдісі. Параллель
проекциялау арқылы кескіндеуді орындағанда келесі қасиеттер мен теорема
қолданылады:
1. Проекциялау бағытына параллель емес тҥзу жазықтыққа тҥзуге
проекцияланады.
2. Проекциялау бағытына параллель емес параллель тҥзулер бір тҥзуге
немес параллель тҥзулерге проекцияланады.
3. Проекциялау бағытына параллель емес бір тҥзудің немесе параллель
тҥзулердің
бойында
орналасқан
кесінділердің
қатынасы
параллель
проекциялауда сақталады.
4. Кез келген ҥшбҧрышты кез келген ҥшбҧрышқа, ҧқсас ҥшбҧрышқа
проекциялауға болады.
Польке-Шварц
теоремасы:
кез
келген
тетраэдр
параллель
проекциялауда кез келген тӛрттӛбелікке проекцияланады.
Мектеп геометриясының стереометрия курсында есептің сызбасын
салуда оқушыларда кӛп кездесетін қателер бар. Келесі мысалдардың сызбалары
арқылы дҧрыс және бҧрыс кескіндерді қарастырайық:
1) Дҧрыс ҥшбҧрышты пирамида және оның SO биіктігі, MB және АD –
табан медианалары.
а) ә) б)
Польке-Шварц
теоремасы
бойынша
кез
келген
тӛртбҧрыш
диагональдарымен бірге кез келген тетраэдрдың кескіні бола алады, сондай-ақ,
дҧрыс ҥшбҧрышты пирамиданың да. Сондықтан а), ә), б) жағдайларындағы
пирамиданың кескіндері дҧрыс. Бірақ, а) және ә) сызбаларында биіктік дҧрыс
кескінделмеген.
2) Дҧрыс тӛртбҧрышы пирамида және оның SO биіктігі.
S
A
B
C
A
S
B
C
M
D
S
A
B
C
D
M
O
Достарыңызбен бөлісу: |
