«ШОҚан оқулары 19» Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

252
 
 
 
 
 
 
 
                                             а)                                                    ә)              
 
Дҧрыс тӛртбҧрышты пирамиданың табаны квадрат, ал квадраттың кескіні 
кез келген тӛртбҧрыш бола алмайды. Сондықтан, ә) кескіні дҧрыс. 
3) Шеткі  жасаушысы  арқылы  жҥргізілген  осьтік  қимасы  бар  конус  пен 
цилиндр. 
 
 
 
        
                            
                            а)                             ә)                          б)                             в)              
 
Конустың  шеткі  жасаушысы  арқылы  жасалған  қима  эллипстің  ҥлкен 
полюстері  арқылы  ӛтпейді.  Себебі,  егер  тӛбесі  арқылы  конусқа  жанамалар 
жҥргізіп, жанасу нҥктелерін қосатын болсақ, эллипстің центрі арқылы ӛтпейді. 
Ал,  цилиндр  ҥшін  шеткі  жасаушысы  арқылы  жасалған  қима  эллипстің  ҥлкен 
полюстері арқылы ӛтеді. Сонымен, а),б) – қате, ә),в) –дҧрыс. 
4) Шар, 
экватор  және  полюстері.  Табан  жазықтығы  экватор 
жазықтығымен  беттесетін  шарға  іштей  сызылған  дҧрыс  тӛртбҧрышты 
пирамида. 
 
 
 
 
 
                      а)                              ә)                               б)                             в) 
        
 Сызба  кӛрнекі  болуы  ҥшін  шар  жазықтыққа  ортогональ  проекцияда 
кескінделеді.  Экватор  жазықтығы  эллипспен  кескінделген.  Демек,  экватор 
жазықтығы  сызба  жазықтығына  перпендикуляр  емес,  онда  экватор 
жазықтығына  жҥргізілген  перпендикуляр  сызба  жазықтығына  параллель  емес. 
Сондықтан  бҧл  перпендикулярдың  сферамен  қиылысу  нҥктесі  шеңберде 
жатпайды. Яғни, а),б) – қате, ә), в) – дҧрыс. 
Параллель  проекциялау  әдісін  қолдану  арқылы  шешілетін  сызба 
есептерін қарастырайық.  
1-есеп. α жазықтық пен сол жазықтықтың бір жарты кеңістігінде әр тҥрлі 
қашықтықта орналасқан  А және В екі нҥктенің кескіні берілген. АВ тҥзуі мен α 
жазықтығының қиылысу нҥктесін кескіндеңдер (1-сурет). 
A 
S 
B 
C 
D 
O 
A 
D 
B 
C 
S 
O 

253
 
 
Шешуі.  Кез  келген  α  жазықтығын  саламыз.  Есептің  шартында  берілген 
жазықтықтан  әр  тҥрлі  қашықтықтағы екі нҥктенің  орны  сызбада  анық  кӛрініп 
тҧруы  ҥшін  екі  нҥктені  кескіндеумен  қоса  α  жазықтығына  перпендикуляр 
тҥсірілген  параллель  проекцияларын  да  кескіндеу  қажет.  Сонда,  А  нҥктесінің 
проекциясы  А',  В  нҥктесінің  проекциясы  В'  болады.  АВ  тҥзуі  мен  α 
жазықтығының қиылысу нҥктесін алу ҥшін  А' және В' арқылы тҥзу жҥргіземіз. 
АВ  тҥзуі  мен  А'В'  тҥзуі  бір  нҥктеде  қиылысады,  яғни  АВ А'В'=Х  ізделінді 
нҥктенің кескінін аламыз.  
 
 
 
 
 
 
                         
              1-сурет                                                          2-сурет 
 
2-есеп.  α  жазықтық  пен  сол  жазықтықтың  бір  жарты  кеңістігінде  бір 
тҥзудің бойында жатпайтын А, В, С ҥш нҥкте берілген. Осы ҥш нҥкте арқылы 
жҥргізілген жазықтық пен α жазықтығының қиылысу тҥзуін кескіндеңдер. 
Шешуі. Есептің шарты бойынша α жазықтығын саламыз. α жазықтықтың 
бір  жарты  кеңістігінде  бір  тҥзудің  бойында  жатпайтын  А,  В,  С  ҥш  нҥктенің 
кескінін  салумен  қоса  бҧл  нҥктелердің  α  жазықтығына  перпендикуляр 
тҥсірілген  А',  В',  С'  параллель  проекцияларын  да  кескіндеу  қажет.  Кез  келген 
ҥш  нҥкте  арқылы  бір  ғана  жазықтық  жҥргізуге  болатыны  анық.  Ендеше,  АВС 
жазықтығы мен  α жазықтығының қиылысу тҥзуін кескіндеу ҥшін АВ және А'В', 
ВС  және  В'С'  тҥзулерінің  қиылысу  нҥктелерін  анықтау  қажет,  яғни  ВА В' 
А'=Х, ВС В' С'=Y қиылысу нҥктелерін аламыз. Ендеше, XY тҥзуі ізделінді тҥзу 
(2-сурет). 
3-есеп. Бесбҧрышты призманың қарама-қарсы бҥйір жақтарынан алынған 
екі  нҥкте  арқылы  тҥзу  жҥргізілген.  Осы  тҥзудің  диагональ  жазықтықтармен 
қиылысу нҥктелерін кескіндеңдер. 
Шешуі.  ABCDEA'B'C'D'E'  призмасын  саламыз.  Кез  келген  қарама-қарсы 
орналасқан екі бҥйір жағынның кез келген жерінен екі нҥкте алу керек,  
М АВВ'А',  N СDD'C'  нҥктелерін  кескіндейміз.  M  және  N  нҥктелерінің 
призманың табан жазықтығына бҥйір қыры бағытында  параллель проекциялау 
арқылы  M'  және  N'  проекцияларын  тҥсіреміз.  M'  және  N'  нҥктелері  арқылы 
ӛтетін  FGM'N'  жазықтығын  жҥргізіп,  диагональ  жазықтықтарды  кескіндеп, 
призманың  табанындағы  M'N'  тҥзуі  қандай  диагональдармен,  бҧл  арқылы  MN 
тҥзуі  қандай  диагональ  жазықтықтармен  қиылысатынын  және  қиылысу 
нҥктелерін аламыз. Сонда, MN ACC'A'=Q, MN BEE'B'=R, MN CEE'C'=S, MN
ADD'A'=T ізделінді нҥктелерді тауып, кескіндейміз (3-сурет). 
 
 
A 
B 
C 
B' 
C' 
A' 
 
Y 
A 
A' 
B 
B' 
X 
 
X 

254
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                        
                            3-сурет                                            4-сурет 
 
4-есеп.  Бесбҧрышты  пирамида  мен  осы  пирамидаға  қатысты  ішкі  және 
сыртқы екі нҥктенің кескіні берілген. Осы екі нҥкте арқылы жҥргізілген тҥзудің 
пирамида жақтарымен қиылысу нҥктелерінің кескінін табыңдар. 
Шешуі. SABCDE бесбҧрышты пирамиданың кескінін саламыз. M және N 
нҥктелерін  кескіндеу  жеткіліксіз,  орны  анық  кӛрініуі  ҥшін  центрлік 
проекцияларын  да  (центрі  S)  кескіндеу  қажет.  MN  тҥзуінің  пирамида  бетімен 
қиылысуын  анықтау  ҥшін  MN  тҥзуі  арқылы  ӛтетін  жазықтықты  қарастыру 
керек.  Ең  ыңғайлысы  SM  және  SN  арқылы  ӛтетін  жазықтықты  алу.  Бҧл 
жазықтық  пирамидамен  қиылысу  арқылы  FSG  ҥшбҧрышын  береді.  MN  тҥзуі, 
біріншіден,  осы  жазықтықта  жатыр,  екіншіден,  осы  ҥшбҧрыштың 
қабырғаларымен  қиылысады,  ал  бҧл  пирамиданың  жақтарымен  қиылысуы. 
Яғни, MN
FSG, бҧдан MN SF=X, MN SG=Y. (4-сурет). 
5-есеп.  Алтыбҧрышты призманың кескіні берілген. Табанындағы ең кіші 
диагональ  арқылы  жҥргізілген  диагональ  жазықтықтың  басқа  диагональ 
жазықтықтармен, бҥйір жақтарымен қиылысу тҥзулерін кескіндеңдер. 
Шешуі.  ABCDEFA'B'C'D'E'F'  алтыбҧрышты  призмасын  кескіндейміз. 
Кескін  бойынша  табанындағы  бесбҧрыштың  кіші  диагоналін  анықтап,  сол 
арқылы FBB'F' диагональ жазықтық жҥргіземіз.  
 
 
 
 
                                                                   
 
                      
                                                             
 
 
                                                   
                                                 
                                                                 
                                                                                                                                                    
 
                                                                             
5-сурет 
     R 
   N 
 
L  
 
 
    
P 
   M 
 K
  
 
 
S 
 
N 
 
Y 
 
X 
 
B 
 
M 
 
M
' 
 
A 
B 
C 
E 
D 
D' 
E' 
A' 
B' 
C' 
M' 
N' 
N 
M 
F 
G 
. 
Q 
R 
S 
T 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
E 
 
F 
 
A' 
 
B' 
 
C' 
 
D' 
 
E' 
 
F' 
 
A 
 
N' 
 
C 
 
D 
 
E 
 
G 
 
F