«ШОҚан оқулары 19» Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

186
 
 
S
S
L
dS
n
dS
n
.
0
2
2
 
 
В силу теоремы вложения [4: 288] и оценки (20) из последнего равенства 
имеем 
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
S
L
S
L
S
L
S
L
S
L
C
n
C
 
 
Итак, получим оценку               
.
C
 
Теорема полностью доказана. 
 
Литература: 
 
1. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики 
неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 
2. Смагулов  Ш.С.,  Темирбеков  Н.М.,  Камаубаев  К.С.  Моделирование 
методом  фиктивных  областей  граничного  условия  для  давления  в  задачах 
течения  вязкой  жидкости.  //  Сибирский  журналвычислительной  математики. 
Новосибирск: СО РАН, 2000 т.3 №1. 
3. Смагулов  Ш.С.,  Темирбеков  Н.М.,  Данаев  Н.Т.  Моделирование 
краевых  условий  для  давления  с  помощью  метода  фиктивных  областей 
//Доклады РАН. 2000. Т.374, №3. 
4. Ладыженская  О.А.  Математические  вопросы  динамики  вязкой  
несжимаемой жидкости. 2-е изд.перераб. и дополн. М.: Наука, 1970. 
 
 
 
ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 
ГИДРОДИНАМИКИ 
 
Куттыкожаева Ш.Н., Ларионова С.В. 
Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова, г. Кокшетау 
shaharzat@mail.ru
 
 
В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с течением обычных 
жидкостей: воды, крови, воздуха и т.д. Большинство течений имеет природное 
и  техногенное  происхождение.  Поэтому  существует  потребность  в 
моделировании  проблем  течения  жидкостей  с  целью  лучшего  понимания 
сложных  явлений  и  повышения  качества  технологий.  С  появлением  новых 
вычислительных  инструментов  моделирование  становится  все  более 
подходящим для проведения экспериментов. Прогресс компьютерной техники 
привел  к  развитию  вычислительной  гидродинамики.  В  начале  появилась 
надежда,  что  можно  моделировать  трехмерные  течения  с  высоким  числом 

187
 
 
Рейнольдса.  Однако,  до  сих  пор  остаются  актуальными  многие  проблемы, 
которые  ограничивают  использование  существующих  численных  методов 
решения задач гидродинамики. 
Большинство  течений,  с  которыми  человеку  приходится  сталкиваться 
имеют  нелинейную  природу.  Таковым,  например,  является  течение  вязкой 
несжимаемой  жидкости,  движение  которой  описывается  уравнениями  Навье-
Стокса. Используя различные упрощения моделей гидродинамики нелинейную 
задачу  можно  свести  к  линейной.  Упрощенные  модели  движения  жидкости 
отвечают  многим  процессам,  происходящим  в  природе,  поэтому  их 
исследование также имеет огромное значение. 
При  решении  задач  гидродинамики  очень  часто  используют  конечно-
разностные  аппроксимации  исходных  дифференциальных  уравнений.  Если 
аппроксимируется  линейная  задача,  то  получающиеся  равенства  являются 
системой линейных алгебраических уравнений вида  
Au=f                                                                                   (1) 
где A=(a
ij
) размерности m, f,  u-  неизвестный  и известный  m-мерные векторы 
из конечномерного гильбертового пространства  H
m. 
 Остановимся  на  итерационных  методах  решения  задачи.  Первый 
итерационный  метод  решения  системы  линейных  алгебраических  уравнений 
был  предложен  Гауссом  в  1828  году.  Большинство  итерационных  методов 
можно  разделить  на  два  типа.  Первый  –  методы,  использующие  данные  о 
спектральных  свойствах  оператора  А.  Операторы  перехода    от  одного 
начального  приближения  к  другому  в  алгоритмах  этого  типа  зависят  от 
некоторых  параметров,  которые  выбираются  из  условия  быстрой  сходимости. 
Более подробно об этих методах  в работах [1],[2],[3] . 
Методы второго типа – вариационные или градиентные методы, в основе 
которых  лежит  принцип  минимизации  некоторого  функционала,  минимум 
которого  достигается  на  решении  системы.  При  решении  (1)  вариационными 
методами  большую  роль  играют  знакоопределенность,  самосопряженность 
оператора А. Если матрица А незнакоопределена, то возникает необходимость 
преобразования системы (1). 
Скорость  сходимости  итерационных  методов  зависит  от  спектральных 
свойств  матрицы  коэффициентов.  Можно  сделать  попытку  преобразовать 
исходную  систему  уравнений  в  ей  эквивалентную,  но  с  матрицей 
коэффициентов,  имеющей  лучший  спектр.  Если  матрица  М  аппроксимирует 
матрицу А в некотором смысле, система вида  
 
 
имеет то же решение, что и исходная, но спектральные свойства матрицы 
 
могут быть лучше. Использование предобуславливателя (матрицы, проводящей 
данное  преобразование)  оборачивается  дополнительными  вычислительными 
затратами при его построении и использовании на каждой итерации. 
 
Рассмотрим  задачу  движения  несжимаемой  жидкости  в  канале  с 
каверной.  Система  уравнений  Навье-Стокса,  описывающая  движение  вязкой 

188
 
 
несжимаемой  жидкости  в  двумерном  случае  может  быть  сведена  к  двум 
нелинейным уравнениям, записанным относительно тока   и вихря ω    
 
 
 
 
 
где  (x,y)
 
   прямоугольная    область  с  твердой  границей 
, 
 – 
коэффициент  кинематической  вязкости.  Функция  тока 
 связана  с 
компонентами вектора скорости 
  соотношениями  
 
 
 
Рис.1. 
 
Зададим краевые условия 
,   
, 
 
    
где    Н  –  ширина  канала,  h  –  высота  каверны,  функция   
 задает  течение 
Пуазейля в канале шириной H-h. 
Используя  уравнение  (2.2)  и  краевые  условия  для  функции  тока 
, 
получим краевые условия для ω на Г
1
  
  
 
 
В  постановке  задачи  присутствуют  условия  на  бесконечности.  Для 
численного решения перенесем эти условия на границу конечной области. 
 
Оператор  Лапласа  аппроксимируется  на  Г
4
  следующим  разностным 
оператором