186
S
S
L
dS
n
dS
n
.
0
2
2
В силу теоремы вложения [4: 288] и оценки (20) из последнего равенства
имеем
.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
S
L
S
L
S
L
S
L
S
L
C
n
C
Итак, получим оценку
.
C
Теорема полностью доказана.
Литература:
1. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики
неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.
2. Смагулов Ш.С., Темирбеков Н.М., Камаубаев К.С. Моделирование
методом фиктивных областей граничного условия для давления в задачах
течения вязкой жидкости. // Сибирский журналвычислительной математики.
Новосибирск: СО РАН, 2000 т.3 №1.
3. Смагулов Ш.С., Темирбеков Н.М., Данаев Н.Т. Моделирование
краевых условий для давления с помощью метода фиктивных областей
//Доклады РАН. 2000. Т.374, №3.
4. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости. 2-е изд.перераб. и дополн. М.: Наука, 1970.
ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ГИДРОДИНАМИКИ
Куттыкожаева Ш.Н., Ларионова С.В.
Кокшетауский государственный университет им. Ш. Уалиханова, г. Кокшетау
shaharzat@mail.ru
В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с течением обычных
жидкостей: воды, крови, воздуха и т.д. Большинство течений имеет природное
и техногенное происхождение. Поэтому существует потребность в
моделировании проблем течения жидкостей с целью лучшего понимания
сложных явлений и повышения качества технологий. С появлением новых
вычислительных инструментов моделирование становится все более
подходящим для проведения экспериментов. Прогресс компьютерной техники
привел к развитию вычислительной гидродинамики. В начале появилась
надежда, что можно моделировать трехмерные течения с высоким числом
187
Рейнольдса. Однако, до сих пор остаются актуальными многие проблемы,
которые ограничивают использование существующих численных методов
решения задач гидродинамики.
Большинство течений, с которыми человеку приходится сталкиваться
имеют нелинейную природу. Таковым, например, является течение вязкой
несжимаемой жидкости, движение которой описывается уравнениями Навье-
Стокса. Используя различные упрощения моделей гидродинамики нелинейную
задачу можно свести к линейной. Упрощенные модели движения жидкости
отвечают многим процессам, происходящим в природе, поэтому их
исследование также имеет огромное значение.
При решении задач гидродинамики очень часто используют конечно-
разностные аппроксимации исходных дифференциальных уравнений. Если
аппроксимируется линейная задача, то получающиеся равенства являются
системой линейных алгебраических уравнений вида
Au=f (1)
где A=(a
ij
) размерности m, f, u- неизвестный и известный m-мерные векторы
из конечномерного гильбертового пространства H
m.
Остановимся на итерационных методах решения задачи. Первый
итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений
был предложен Гауссом в 1828 году. Большинство итерационных методов
можно разделить на два типа. Первый – методы, использующие данные о
спектральных свойствах оператора А. Операторы перехода от одного
начального приближения к другому в алгоритмах этого типа зависят от
некоторых параметров, которые выбираются из условия быстрой сходимости.
Более подробно об этих методах в работах [1],[2],[3] .
Методы второго типа – вариационные или градиентные методы, в основе
которых лежит принцип минимизации некоторого функционала, минимум
которого достигается на решении системы. При решении (1) вариационными
методами большую роль играют знакоопределенность, самосопряженность
оператора А. Если матрица А незнакоопределена, то возникает необходимость
преобразования системы (1).
Скорость сходимости итерационных методов зависит от спектральных
свойств матрицы коэффициентов. Можно сделать попытку преобразовать
исходную систему уравнений в ей эквивалентную, но с матрицей
коэффициентов, имеющей лучший спектр. Если матрица М аппроксимирует
матрицу А в некотором смысле, система вида
имеет то же решение, что и исходная, но спектральные свойства матрицы
могут быть лучше. Использование предобуславливателя (матрицы, проводящей
данное преобразование) оборачивается дополнительными вычислительными
затратами при его построении и использовании на каждой итерации.
Рассмотрим задачу движения несжимаемой жидкости в канале с
каверной. Система уравнений Навье-Стокса, описывающая движение вязкой
188
несжимаемой жидкости в двумерном случае может быть сведена к двум
нелинейным уравнениям, записанным относительно тока и вихря ω
где (x,y)
прямоугольная область с твердой границей
,
–
коэффициент кинематической вязкости. Функция тока
связана с
компонентами вектора скорости
соотношениями
Рис.1.
Зададим краевые условия
,
,
где Н – ширина канала, h – высота каверны, функция
задает течение
Пуазейля в канале шириной H-h.
Используя уравнение (2.2) и краевые условия для функции тока
,
получим краевые условия для ω на Г
1
В постановке задачи присутствуют условия на бесконечности. Для
численного решения перенесем эти условия на границу конечной области.
Оператор Лапласа аппроксимируется на Г
4
следующим разностным
оператором
Достарыңызбен бөлісу: |
