183
f
P
-
v
, (1)
0
v
div
, (2)
0
v
|
S
. (3)
где:
x
x
x
x
3
2
1
v
,
v
,
v
v
- вектор-скорости жидкости,
x
P
- давление
жидкости,
x
f
- вектор массовых сил,
-коэффициент вязкости.
Рассмотрим некоторые используемые в дальнейшем функциональные
пространства. Множество
J
0
- множество бесконечно дифференцируемых,
финитных в соленоидальных вектор-функций. Определим в нем скалярное
произведение [1: 318]:
dx
u
dx
u
u
x
x
x
x
k
k
v
v
v
,
,
тогда норма имеет вид
x
L
x
u
u
u
u
u
2
0
,
J
.
Через
H
обозначим пополнение
J
0
в норме, соответствующей
этому скалярному произведению.
H
- полное гильбертово пространство.
Через
1
2
J
0
обозначим гильбертово пространство вектор-функций, которое
получается пополнением
J
0
в
норме, соответствующей скалярному
произведению
dx
u
u
u
x
x
v
v
v
,
1
.
Заметим, что в случае ограниченной области пространства
H
и
1
2
J
0
совпадают: нормы в них эквивалентны.
Введем множество
M
- множество бесконечно дифференцируемых
соленоидальных в
вектор-функции
x
v
, касательные составляющие
которых обращается в нуль на границе S :
S
x
x
x
C
x
x
M
,
0
v
0;
v
div
,
v
,
v
где
x
- касательный вектор к границе S .
Через
1
, V
V
обозначим пространства, полученные замыканием
M
в нормах
2
L
и
1
2
W
, а их сопряженные -
1
, V
V
, причем
V
и
1
V
отождествляются.
Теперь рассмотрим задачу моделирования граничных условий для
давления методом фиктивных областей с продолжением по младшим
184
коэффициентам для уравнений Стокса. Здесь получены неулучшаемые оценки
скорости сходимости решений вспомогательной задачи.
Сначала в области с границей S рассмотрим модель Стокса
,
v
f
P
(6)
,
0
v
div
(7)
.
0
v
S
(8)
Для простоты предполагаем, что
2
R
. В вспомогательной области
D
D,
с границей
1
S
рассмотрим систему уравнений с малым параметром
[2: 51].
,
v
)
(
v
f
x
P
(9)
,
0
v
div
(10)
- малый параметр,
0 . Уравнения (9), (10) решаются с учетом
краевых условий:
,
0
,
0
v
1
1
S
S
P
(11)
- касательный вектор к границе
1
S
, функция
f
- продолжена нулем вне
,
.
\
,
1
,
,
0
)
(
1
D
D
x
x
x
Определение. Обобщенным решением задачи (9)-(11) называется
функция
)
(
v
1
D
V
, удовлетворяющая интегральному тождеству
D
S
D
D
dx
f
dS
x
K
dx
dx
1
1
1
)
,
v
)(
(
v
1
)
,
v
(
, (12)
)
(
),
(
1
x
K
D
V
- удвоенная кривизна
1
S
.
Неулучшаемая оценка скорости сходимости
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Пусть
0
)
(
),
(
,
,
2
2
1
x
K
D
L
f
C
S
S
. Тогда
.
v
v
2
/
1
)
(
2
C
L
(13)
Оценка (13) неулучшаема по порядку .
185
Докажем теорему. Решение
)
v( x
задачи (6)-(8) продолжим нулем.
Умножим (6) на
)
(
1
D
V
, и проинтегрируем по области . В силу (12) для
разности
v
v
получим тождество
,
0
)
,
)(
(
v
)
,
(
1
)
,
(
1
1
2
2
S
S
S
D
L
D
L
ndS
P
dS
x
K
dS
n
(14)
где n - вектор нормали к границе S .
В (14) положим
и, используя неравенство вложения
1
, имеем:
.
1
v
1
2
2
4
/
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
D
L
D
L
S
L
S
L
S
L
S
L
D
L
D
L
C
P
n
(15)
Отсюда следует, что
,
2
/
1
)
(
2
C
S
L
C
D
L
D
L
2
/
1
2
2
1
2
2
1
(16)
Из (6)-(8) и (9), (10) получим
,
0
,
0 div
(17)
P
P
C
S
L
S
,
,
2
/
1
)
(
2
,
v
v
.
Умножим первое уравнение (17) на и интегрируем в
дважды по
частям:
S
S
S
L
ndS
dS
n
dS
n
0
)
,
(
2
. (18)
Пусть является решением задачи
,
,
0
div
.
0
S
(19)
Для решения задачи (19) справедлива оценка [3: 343]
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
0
2
2
L
W
J
W
C
(20)
Из (18), используя (19), получаем
Достарыңызбен бөлісу: |