«ШОҚан оқулары 19» Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары

183
 
 
f
P
-
v
 
, (1) 
0
 v
div
,    (2) 
0
v
|
S
 .      (3) 
 
где: 
x
x
x
x
3
2
1
v
,
v
,
v
v
 - вектор-скорости жидкости, 
x
P
 - давление 
жидкости, 
x
f
- вектор массовых сил, 
-коэффициент вязкости. 
Рассмотрим  некоторые  используемые  в  дальнейшем  функциональные 
пространства.  Множество   
J
0
 -  множество  бесконечно  дифференцируемых, 
финитных  в   соленоидальных  вектор-функций.  Определим  в  нем  скалярное 
произведение [1: 318]:  
dx
u
dx
u
u
x
x
x
x
k
k
v
v
v
,
 ,     
тогда норма имеет вид 
x
L
x
u
u
u
u
u
2
0
 
,
J
 . 
 
Через 
H
 обозначим  пополнение   
J
0
 в  норме,    соответствующей 
этому  скалярному  произведению. 
H
 -  полное  гильбертово  пространство. 
Через 
1
2
J
0
 обозначим  гильбертово  пространство  вектор-функций,  которое 
получается  пополнением 
J
0
 в 
норме,  соответствующей  скалярному 
произведению 
 
dx
u
u
u
x
x
v
 v
 v
,
1
. 
 
Заметим,  что  в  случае  ограниченной  области       пространства   
H
 и 
1
2
J
0
 совпадают: нормы в них эквивалентны.  
Введем  множество 
M
 -  множество  бесконечно  дифференцируемых 
соленоидальных  в 
 вектор-функции 
x
v

,  касательные  составляющие 
которых обращается в нуль на границе  S :        
                
S
x
x
x
C
x
x
M
  
,
0
v
0;
 v
div
  
,
 v
,
v
 
 
где  
x
 - касательный вектор к границе  S . 
Через 
1
  
, V
V
 обозначим  пространства,  полученные  замыканием 
M
 в нормах 
2
L
 и 
1
2
W
, а их сопряженные - 
1
  
, V
V
, причем    
V
и  
1
 V
 отождествляются. 
Теперь  рассмотрим  задачу  моделирования  граничных  условий  для 
давления  методом  фиктивных  областей  с  продолжением  по  младшим 

184
 
 
коэффициентам для уравнений Стокса. Здесь получены неулучшаемые оценки 
скорости сходимости решений вспомогательной задачи. 
Сначала в области   с границей  S  рассмотрим модель Стокса 
 
,
v
f
P
      (6) 
,
0
v
div
                (7) 
.
0
v
S
                  (8) 
 
Для  простоты  предполагаем,  что 
2
R
.  В  вспомогательной  области 
D
D,
 с границей 
1
S
 рассмотрим систему уравнений с малым параметром 
[2: 51].
 
,
v
)
(
v
f
x
P
          (9) 
,
0
v
div
                             (10) 
 
-  малый  параметр, 
0 .  Уравнения  (9),  (10)  решаются  с  учетом 
краевых условий: 
,
0
,
0
v
1
1
S
S
P
            (11) 
 
- касательный вектор к границе 
1
S
, функция 
f
- продолжена нулем вне 
, 
.
\
,
1
,
,
0
)
(
1
D
D
x
x
x
 
 
Определение.  Обобщенным  решением  задачи  (9)-(11)  называется 
функция 
)
(
v
1
D
V
, удовлетворяющая интегральному тождеству 
D
S
D
D
dx
f
dS
x
K
dx
dx
1
1
1
)
,
v
)(
(
v
1
)
,
v
(
,          (12) 
)
(
),
(
1
x
K
D
V
 - удвоенная кривизна  
1
S
. 
 
Неулучшаемая оценка скорости сходимости 
Справедлива следующая теорема: 
Теорема.  Пусть 
0
)
(
),
(
,
,
2
2
1
x
K
D
L
f
C
S
S
. Тогда  
 
.
v
v
2
/
1
)
(
2
C
L
               (13) 
 
Оценка (13) неулучшаема по порядку  . 

185
 
 
Докажем  теорему.  Решение 
)
v( x
 задачи  (6)-(8)  продолжим  нулем. 
Умножим  (6)  на 
)
(
1
D
V
,  и  проинтегрируем  по  области  .  В  силу  (12)  для 
разности 
v
v
 получим тождество 
 
,
0
)
,
)(
(
v
)
,
(
1
)
,
(
1
1
2
2
S
S
S
D
L
D
L
ndS
P
dS
x
K
dS
n
       (14) 
 
где  n  - вектор нормали к границе  S . 
В (14) положим 
 и, используя неравенство вложения
1
, имеем: 
 
.
1
v
1
2
2
4
/
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
D
L
D
L
S
L
S
L
S
L
S
L
D
L
D
L
C
P
n
     (15)  
              
Отсюда следует, что 
,
2
/
1
)
(
2
C
S
L
    
C
D
L
D
L
2
/
1
2
2
1
2
2
1
       (16) 
Из (6)-(8) и (9), (10) получим 
 
,
0
  
,
0 div
                    (17) 
P
P
C
S
L
S
,
,
2
/
1
)
(
2
,  
v
v
. 
 
Умножим  первое  уравнение  (17)  на   и  интегрируем  в 
 дважды  по 
частям:  
S
S
S
L
ndS
dS
n
dS
n
0
)
,
(
2
.     (18) 
Пусть   является решением задачи 
,       
,
0
div
     
.
0
S
       (19) 
 
Для решения задачи (19) справедлива оценка [3: 343] 
 
.
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
0
2
2
L
W
J
W
C
     (20) 
 
Из (18), используя (19), получаем