«роль транспортной науки и образования в реализации пяти институциональных реформ», посвященной

 

 

 

 

444 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Сейтжанова  З.Т.

  –  студент,  Казахская  академия  транспорта  и  коммуникаций           

им. М.Тынышпаева (г. Алматы, Казахстан) 

 

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 

 

Довольно  часто  менеджеру  приходится  сталкиваться  с  задачами,  связанными  с 

системами  массового  обслуживания  (СМО),  т.е.  такими  системами,  в  которых  с  одной 

стороны,  возникают  требования на выполнение каких-либо  услуг,  с  другой - происходит 

удовлетворение  этих  запросов.  Подобные  системы  играют  важную  роль  во  многих 

отраслях экономики, финансов, производства и быта. 

Посредством методов теории массового обслуживания могут быть решены многие 

экономические  задачи.  Так,  в  организации  торговли  данные  методы  позволяют 

определить  оптимальное  количество  торговых  точек,  частоту  завоза,  минимально 

необходимую  численность  продавцов  и  другие  параметры.  Другим  характерным 

примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-

сбытовых организаций. Задача теории массового обслуживания в данном случае сводится 

к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу 

требований на обслуживание пи числом обслуживающих устройств, при котором расходы 

будут  минимальными.  Часто  СМО  применяются  в  планировании  банковской 

деятельности;  при  решении  ряда  задач  организации  и  нормирования  труда;  при  расчете 

площади  складских  помещений  и  т.п.  Таким  образом,  владение  и  применение  методов 

теории  массового  обслуживания  при  решении  различных  социально-экономических 

проблем является необходимым условием для современного менеджера. 

Предметом  изучения  теории  массового  обслуживания  является  система  массового 

обслуживания. 

Системой  массового  обслуживания  называется  любая  система,  предназначенная 

для обслуживания какого-либо потока заявок. Подобные системы играют важную роль во 

многих  областях  экономики,  финансов,  производства  и  быта.  Такие  системы,  как 

компьютерные  сети,  системы  сбора,  хранения  и  обработки  информации,  транспортные 

системы,  автоматизированные  производственные  участки,  поточные  линии,  различные 

военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны, 

также  могут  рассматриваться  как  своеобразные  СМО.  Каждая  СМО  включает  в  свою 

структуру  некоторое  число  обслуживающих  устройств,  которые  называются  каналами 

(приборами,  линиями)  обслуживания.  Роль  каналов  могут  играть  различные  приборы, 

лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, продавцы), линии связи, 

автомашины,  ремонтные  бригады,  железнодорожные  пути,  бензоколонки  и  т.д.  Системы 

массового  обслуживания  могут  быть  одноканальными  или  многоканальными,  которые 

также подразделяются на системы с отказами и системы с ожиданием. 

Каждая  СМО  предназначена  для  обслуживания  некоторого  потока  заявок, 

поступающих  на  вход  системы  большей  частью  не  регулярно,  а  в  случайные  моменты 

времени.  Обслуживание  заявок,  в  этом  случае  также  длится  не  постоянное,  заранее 

известное  время,  а  случайное  время,  а  случайное  время,  которое  зависит  от  многих 

случайных,  порой  неизвестных  нам  причин.  После  обслуживания  заявки  канал 

освобождается и готов к приему следующей заявки. 

Случайный  характер  потока  заявок  и  времени  их  обслуживания  приводит  к 

неравномерной  загруженности  СМО:  в  иное  время  на  входе  могут  скапливаться 

необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, а иногда при свободных каналах 

на входе СМО  заявки не будет,  что приводит к  недогрузке СМО,  т.е. к  простаиванию  ее 

каналов.  Заявки,  скапливающиеся  на  входе  СМО,  либо  становятся  в  очередь,  либо  по 

 

 

 

 

445 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

причине  невозможности  дальнейшего  пребывания  в  очереди  покидают  СМО 

необслуженными. 

Рассмотрим 

методы 

определения 

количества 

вагонов 

и 

электровозов 

пассажирского  транспорта,  обеспечивающих  минимальные  потери  времени  на 

железнодорожных вокзалах. 

В качестве обслуживающего аппарата можно рассматривать электровоз или состав 

вагонов. Для электровоза время обслуживания состоит из времени одного полного рейса, 

включая  маневровые  операции,  движение  полных  свободных  вагонов,  случайные  и 

технологические  остановки.  Для  составов  вагонов  время  обслуживания  состоит  из 

времени  кругооборота,  включая  время  посадки  пассажиров,  ожидания  электровоза  на 

пункте  посадки,  движения  до  пункта  высадки  пассажиров,  время  высадки  и  движения 

свободного состава на пункт посадки с учетом случайных остановок. Это время зависит от 

многих факторов и является случайной величиной. 

Интенсивность  потока  заявок,  т.  е.  количество  заявок  на  свободные  вагоны  на 

смену,  может  быть  определена  по  данным  диспетчерского  отчета  на  вокзале  или 

статистическим моделированием для проектных расчетов. 

Представим  работу  пассажирского  транспорта  в  виде  системы  массового 

обслуживания с ожиданием и неограниченным потоком заявок при следующих условиях: 

-   средний  интервал  времени  между  заявками  на  свободные  вагоны  составляет  12 

мин, т.е. Я=5 заявок в час; 

-   среднее  время  кругооборота  вагона  равно  2  ч  15  мин,  т.е.  ц=0,44.  Тогда  средне 

число составов на вокзале должно быть больше отношения     

 

 Можно 

показать, 

что 

при 

12 

составах работа 

транспорта 

будет 

неудовлетворительной. 

Параметры,  характеризующие  работу  транспорта  при  различном  числе  составов 

вагонного парка, рассчитаны по формулам теории массового обслуживания и приведены в 

Таблице 1. 

Из  Таблицы  1  видно,  что  12  составов  явно  недостаточно  для  обслуживания 

перевозок,  так  как  в  этом  случае  велики  простои  в  ожидании  порожних  вагонов, 

составляющие  в  среднем  2  ч  51  мин  на один  заказ;  15  составов  своевременно  обеспечат 

вокзал  свободными  вагонами,  при  этом  число  простаивающих  составов  будет 

небольшим. Аналогично 

можно 

проанализировать 

использование 

электровозов 

пассажирским транспортом. 

 

 

 

 

446 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

 

 

Как  видно  из  таблицы  2,  наиболее  вероятными  являются  состояния,  когда  в 

системе  занято  точно  три-четыре  электровоза.  В  то  же  время  этого  числа  электровозов 

недостаточно для качественного обслуживания, так как вероятности того, что потребуется 

точно пять или шесть электровозов довольно существенны и составляют 14 и 9%. 

 

 

 

Вычислим 

характеристики 

использования 

электровозов 

и 

обслуживания 

производственных участков по формулам теории массового обслуживания. 

Показатели,  характеризующие  работу  транспорта  при  различном  количестве 

электровозов приведены в таблице 3. 

 

Вывод:

 

Из  таблицы  3  следует,  что  для  обслуживания  вокзалов  при  заданных  условиях 

можно  принять  6  электровозов.  Тогда  среднее  время  ожидания  начала  отправки 

электровозов на вокзал составит 4,8 мин, коэффициент простоя электровозов - 0,37. 

Следует  также  отметить,  что  среднее  время  ожидания  начала  отправки 

электровозов  для  вывоза  груза  уменьшается  непропорционально  увеличению  числа 

электровозов.  Так,  для  5  электровозов  среднее  время  ожидания  почти  в  10  раз  меньше, 

чем для 4 электровозов. Затем, с увеличением числа электровозов с 5 до 6 среднее время 

ожидания сокращается в 3,5 раза, с 6 до 7 - в 4 раза, с 7 до 8 - в 2 раза. 

 

 

 

 

447 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

 

 

Анализ  использования  электровозов  позволит  для  конкретных  условий  определить  не 

только  необходимое  их  число,  но  и  установить  наиболее  оптимальную  схему 

прикрепления электровозов для обслуживания пассажирских вокзалов. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

 

1. Е.С. Вентцель. Исследование операций. М.: “Высшая школа”, 2001.  

2.  Г.П.  Фомин.  Системы  и  модели  массового  обслуживания  в  коммерческой  деятельности. 

М.: “Финансы и статистика”, 2000.  

3. В.П. Чернов, В.Б. Ивановский. Теория массового обслуживания. М.: Инфра-М, 2000.  

4. Е.С. Вентцель., Л.А. Овчаров. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: “Высшая 

школа”, 2000. 

 

 

ӘОЖ  517 

 

Уаисов  Б.

  –  ф.-м.ғ.к.,  доцент,  М.Тынышбаев  атындағы  Қазақ  Көлік  жəне 

Коммуниациялар Академиясы (Қазақстан, Алматы қ.) 

Маратова  А.Ш.

  –  студент,  М.Тынышбаев  атындағы  Қазақ  Көлік  жəне 

Коммуниациялар Академиясы (Қазақстан, Алматы қ.) 

Қожан М.Ә.

 – студент, М.Тынышбаев атындағы Қазақ Көлік жəне Коммуниациялар 

Академиясы (Қазақстан, Алматы қ.) 

 

ДӘРЕЖЕЛІК ҚАТАР КӨМЕГІМЕН ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІ 

ШЕШУ 

 

 

n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуді қарастырайық. 

 

 

 

 

y

(n)

+f

1

(x)y

(n-1)

+…+f

(n-1)

(x)yʹ+f

(n)

(x)y=F(x)                                 (1)  

(n-ретті туындының коэффициенті 1-ге тең болсын) 

Енді дəлелдеуінсіз мына түрдегі теореманы қарастырайық. 

Теорема. Егер (1) түріндегі дифференциалдық теңдеудің коэффициенттері жəне оң 

жағы  (x-a)  айырымының  дəрежесі  бойынша  x=a  нүктесінің  қайсыбір  аймағында 

жинақталатын дəрежелік қатарға жіктелетін болса, онда мына түрдегі алғашқы шарттарды 

қанағаттандыратын  y(a)=y

0

,  yʹ(a)=y

1

,  …  ,  y

(n-1)

(a)=y

(n-1)

  (y

0

,y

1

,  …  ,y

n

  берілген  сандар), 

теңдеудің  шешімі  дифференциалдық  теңдеудің  оң  жағына  жəне  кем  дегенде  қатардың 

 

 

 

 

448 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

коэффициенттері  үшін  жинақталу  интервалдарының  кішісіне  жинақталатын  (x-a) 

айырымының дəрежесі бойынша дəрежелік қатарға жіктеледі. 

Негізінен дифференциалдық теңдеудің дəрежелік қатар түрінде шешудегі шешімін 

екі  тəсілмен  алуға  болады:  1)  коэффициенттерді  салыстыру  арқылы;  2)  тізбектеп 

дифференциалдау арқылы. 

Бірінші тəсілді қарастырайық: Алдымен теңдеудің шешімін белгісіз коэффициентті 

дəрежелік қатар түрінде жазамыз:  

 

y=a

0

+a

1

(x-a)+a

2

(x-a)

2

+…+a

n

(x-a)

n

+… 

 

Бұдан кейін алғашқы шарттар арқылы коэффициенттердің мəндерін табамыз. а

0

, a

1

, 

a

2

,  a

n-1

.  Соңында  табылғандарды  дифференциалдық  теңдеудегі  y-тің  жəне  туындыларды, 

коэффициенттерді орнына қоямыз.  

Оң  жағында        (x-a)  дəрежесі  бойынша  дəрежелік  қатарға  жіктелуін  жазады  жəне 

қатарға амалдар қолданады. 

Осындай жолмен  алынған теңдеуден коэффициенттерді анықтаймыз. Мысал үшін: 

Алғашқы  шарттарды  y(0)=1,  yʹ(0)=0  қанағаттындыратын  дифференциалдық  теңдеудің 

шешімін тап: 

 

yʺ-xy=0 

 

Ізделініп отырған шешімді қатар түрінде жазайық: 

 

y=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+… 

 

Алғашқы шарттардан a

0

, a

1

анықтаймыз. 

 

y(0)=1= a

0

,  a

0

=1 

 

yʹ(0)=0= a

1

,  a

1

=0 

Бұдан кейін теңдеуге  

y=1+ a

2

x

2

+ a

3

x

3

+… 

қоямыз. 

2a

2

+2∙3a

3

x+3∙4a

4

x

2

+…-(x+a

2

x

3

+ a

3

x

4

+…)=0 

 

бұдан, коэффициенттерді салыстыру арқылы, табамыз: 

 

2a

2

=0, a

2

=0; 

2∙3a

3

=1, a

3

=

∙

; 

3∙4a

4

=0, a

4

=0; 

4∙5a

5

=a

2, 

a

5

=0; 

5∙6a

6

=a

3, 

a

6

=

∙ ∙ ∙

.

 

Сонымен,  

y=1+ 

∙

 + 

∙ ∙ ∙

 +… 

 

Алынған қатар жоғарыдағы теорема бойынша, x-тің барлық мəнінде жинақталады. 

Тізбектеп  дифференциалдау  тəсілімен  дифференциалдық  теңдеуді  шешу  үшін 

ізделініп  отырған  шешімді  Тейлор  қатарына  жіктейміз.  (Басқаша  айтқанда  Тейлор 

қатарына «х-a» айырымының дəрежесі бойынша.) 

 

 

 

 

449 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Мысал үшін тағы да сол қарастырған теңдеуді алайық: Алғашқы шарттарды y(0)=1, 

yʹ(0)=0 қанағаттындыратын дифференциалдық теңдеудің шешімін тап: 

 

 

 

 

 

yʺ-xy=0                                                                             (2)

 

 

 

 

 

 

 

  

Теңдеудің шешімін мына түрде жазайық: 

 

y=y(0) + 

ʹ( )

!

x + 

ʺ( )

!

x

2 

+ 

ʹʹʹ( )

!

x

3 

+… 

 

Шарт бойынша: y(0)=1, yʹ(0)=0 

Дифференциалдық теңдеудегі x=0 қойсақ, онда  

 

yʺ(0)=0 

 

 (2) теңдеуді тізбектеп дифференциалдап жəне x=0 мəнін қойсақ, онда  

 

yʹʹʹ=y+xyʹ, 

 

yʹʹʹ(0)=1; 

y

IV

=2yʹ+xyʺ,  y

IV

(0)=0; 

y

V

=3yʺ+yʹʹʹ,   

y

V

(0)=0; 

y

VI

=4yʹʹʹ+xy

IV

,

 

y

VI

(0)=4 

…………………………… 

…………………………… 

Соңында, у өрнегіне табылған туынды мəндерін қойсақ, онда  

 

y=1+ 

∙

 + 

∙ ∙ ∙

 +… 

Қорытындылай  келегенде,  біздің  қарастырған  екінші  ретті  сызықтық  біртекті 

дифференциалдық теңдеуімізді «Жоғары математика -2» пəнінің оқу жұмыс бағдарламасы 

бойынша  қарастырылатын  дифференциалдық  теңдеулер  тарауы  бойынша  шешуі 

қиындыққа  соғатын  болғандықтан,  дəрежелік  қатар  көмегімен  шешуді  қарастырамыз. 

Қарастырған тəсіліміз оң шешімін тапты деп есептейміз. 

 

ƏДЕБИЕТ 

 

1.

 

Бугров Я.С., Никольский С.М. 

 

Дифференциальные  уравнения.  Кратные  интегралы,  ряды.  Функция  комплексного 

переменного М.: Наука, 1989 г. 

2.

 

Жевняк Р.М., Карпук А.А.Высшая математика. Мн.: Выш. шк. Часть 2,3 

3.

 

Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравненияМ.: Высш. шк. 1983 г. 

4.

 

А.П. Рябушко и другие.Индивидуальные задания по высшей математике 

Минск, Выш. шк. 2002 г., ч. 2,3 

5.

 

Данко П.Е., Понов А.Г. и др.математика в упражнениях и задачах.М.: Высш. шк. 1986 г., 

ч. 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

450 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

 

ӘОЖ 517  

 

Шакуликова  А.Т.  – 

доцент,  М.Тынышбаев  атындағы  Қазақ  Көлік  жəне 

Коммуниациялар Академиясы (Қазақстан, Алматы қ.)

 

Құдабаев О. – 

студент, М.Тынышбаев атындағы Қазақ Көлік жəне Коммуниациялар 

Академиясы (Қазақстан, Алматы қ.)

 

 

ТӨРТІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУДІҢ 

ЖАЛПЫ ШЕШІМІНІҢ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТҰРПАТЫ 

 

[a,b] кесіндісінде сызықтық дифференциалдық 

 

( ) +  

( ) +

( ) +

( ) +

( ) = 0

   

(1) 

теңдеуін қарастырайық. 

(1)

 

Теңдеудің жалпы шешімі 

( ) =

+

+

+

     (2) түрінде болады, мұндағы  ,

,

,

- 

кез  келген  тұрақты  сандар,  ал 

,

,

,

сандары   

+

+

+

+

    (3) 

характеристикалық көпмүшелігінің өзара тең емес нөлдері. 

Егер

,

,

,

  сандарының  ішінде  теңдері  болса,  онда  (1)  теңдеуінің  жалпы 

шешімі 

( ) =

( ) +

( ) +

( ) +

( )

  (4) түрінде жазылады, мұндағы   

 

( ) =

 

( )

=

1

1

/

1

1

 

( ) =

1

1

1

/

1

1

1

 

( ) =  

3

4

3

3

3

2

3

1

2

4

2

3

2

2

2

1

4

3

2

1

2

4

2

3

2

2

2

1

4

3

2

1

1

1

1

1

/

1

1

1

1

4

3

2

1

















































жүктеу 15,03 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: