«роль транспортной науки и образования в реализации пяти институциональных реформ», посвященной

 

 

 

 

435 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

t

e

e

t

i

i

t

t

i

t

i

















cos

)

(

2

1

)

(

)

1

1

(

2

1

)

(

2

2



























 

 























t

e

e

i

t

i

i

i

t

t

i

t

i

sin

)

(

2

1

)

(

)

1

1

(

2

1

)

(

1

2

2

























 

 

А  можно  вычислить  оба  операторных  выражения,  пользуясь  школьной  формулой  для 

геометрической прогрессии: 

 

t

t

t

t

J

t

J

t

J

t

k

k

k























cos

...

!

4

!

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

1

(

)

(

4

4

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2









































 

 





















t

t

t

t

t

J

t

J

t

J

t

k

k

k

sin

...

!

5

!

3

)

(

)

(

1

1

)

(

)

1

(

1

)

(

1

5

4

3

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2





































 

 

Получаем  решение  в  уже  выписанном  виде.  Совпадение  формул  является  оправданием 

операционного исчисления. 

   Аналогично, уравнение  

0

''

2





y

y



 с начальными условиями 

0

0

'

)

0

(

'

,

)

0

(

y

y

y

y





 

 имеет операторное представление 

 

)

(

'

)

(

)

(

0

0

2

2

t

y

t

y

y

















 

 

и операторное решение

 

)

(

1

'

)

(

2

2

0

2

2

0

t

y

t

y

y























 , 

 

которое опять можно аналогично предыдущему двумя способами представить в виде: 

t

sh

y

t

ch

y

y







0

0

'





 

Начнем составлять таблицу операторных представлений: 

 

)

(

1

t

e

t













,  

)

(

cos

2

2

t

t















,   

)

(

sin

2

2

t

t















 ,  

 

)

(

2

2

t

t

ch















,            

)

(

2

2

t

t

sh















 

 

Если продифференцировать эти равенства по параметру, получим: 

 

 

 

 

 

436 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

)

(

)

(

1

2

t

te

t













 , 

)

(

)

(

2

sin

2

2

2

t

t

t

















 ,   

)

(

)

(

cos

2

2

2

2

2

t

t

t



















 , 

 

(3)     

)

(

)

(

2

2

2

2

t

t

tsh

















)

(

)

(

2

2

2

2

2

t

t

tch



















 

 

Можно дифференцировать эти равенства по параметру и дальше: 

 

(4)     

)

(

)

(

!

1

t

n

e

t

n

t

n















  ,  при   



=0 отсюда получаем 

 

)

(

1

!

1

t

n

t

n

n









 , что, впрочем, очевидно.  

Например, дифференцируя равенства            

)

(

)

1

1

(

2

1

sin

t

i

i

i

t





















  ,   

)

(

)

1

1

(

2

1

cos

t

i

i

t





















 

 

n  раз по 



 , получим: 

)

(

]

)

(

1

)

(

1

[

2

1

sin

!

1

1

t

i

i

i

t

n

t

n

n

n

























 , 

)

(

]

)

(

1

)

(

1

[

2

1

cos

!

1

1

t

i

i

t

n

t

n

n

n

























 

 

  Кто помнит для экспоненты, тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса 

их  преобразование  Лапласа,  тот  может  заметить,  что  все  полученные  операторные 

представления имеют форму 

 

)

(

)

(

)

(

t

F

t

f







                                                            (5)       

 

и  это  не  случайно.  Действительно,  по  формуле  Эйлера,  дающей  операционную  запись 

формулы Тейлора,  

)

(

)

(

!

)

(

)

(

!

)

(

)

(

0

)

(

0

t

f

e

t

f

k

t

f

k

t

f

t

k

k

t

k

k

k







































 , 

 

что  верно  для  неурезанных  функций  при  всех 



  (в  области  сходимости  ряда  Тейлора),  а 

для урезанных – при 



0. Здесь оператор 

t

e







 выступает как оператор сдвига: 

 

)

(

)

(

t

f

e

t

f

t













 

Применим это свойство к дельта-функции: 

 

(6)    

)

(

)

(

t

e

t

t















  ,  

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

t

F

t

d

e

f

t

e

f

d

d

t

f

t

f

t

t

t



































































 

Таким образом, мы получаем в наше распоряжение таблицу преобразования Лапласа. 

 

 

 

 

437 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Чтобы получить операторное представление функции  f(t) , достаточно воспользоваться ее 

преобразованием Лапласа  F(p) . 

 

Дифференцирование оригинала  

 

Достаточно равенство (5) умножить на оператор дифференцирования. 

 

)

(

)

(

)

(

t

F

t

f











  ,   

)

(

)

(

)

(

t

F

t

f

n

n











  

 

 

 

(7)  

 

Интегрирование оригинала. 

 

)

(

)

(

1

)

(

t

F

t

Jf









 ,

)

(

)

(

1

)

(

t

F

t

f

J

n

n









   

 

(8) 

Теорема запаздывания. 

 

)

(

)

(

)

(

)

(

t

F

e

t

f

e

t

f

t

t

























  , 



 0   

 

 

 (9) 

 

Теорема смещения

. 

 

 

 

 

 

 

)

(

)

(

)

(

t

F

t

f

e

t













 

 

 

      (10) 

 

Действительно,  

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

(

0

t

F

t

d

e

f

t

d

e

f

e

t

f

e

t

t

t

t



















































 

 

Теперь можем пополнить нашу таблицу: 

)

(

)

(

sin

2

2

t

t

e

t























 

 

 

 

 

(11) 

 

)

(

)

(

cos

2

2

t

t

e

t



























 

 

 

 

 

(12) 

 

)

(

)

(

1

!

1

t

n

t

e

n

n

t

















 

 

 

 

 

(13) 

 

)

(

)

(

2

2

t

t

ch

e

t



























 ,  

)

(

)

(

2

2

t

t

sh

e

t























 

           (14) 

 

 

2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 

)

(

'

''

t

f

qy

py

y







 ,  

0

)

0

(

y

y



 ,  

0

'

)

0

(

'

y

y



  , 

где 

0

0

'

,

,

,

y

y

q

p

 параметры, а  

)

(

t

f

 - известная функция. Будем считать, что p и  q не равны 

нулю одновременно (в этом случае решение  уравнения y’’=f(t) мы  уже знаем). Проведем 

корректировку уравнения:  

)

(

'

0

t

y

y

y









 ,   

)

(

)

'

(

'

'

0

0

2

t

y

y

y

y













 

 

 

 

 

438 

 

 

«РОЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В РЕАЛИЗАЦИИ ПЯТИ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ 

РЕФОРМ», ПОСВЯЩЕННОЙ ПЛАНУ НАЦИИ  «100 КОНКРЕТНЫХ ШАГОВ» 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 

 

Подставим отсюда штрихованные производные в уравнение, перенеся в правую  

жүктеу 15,03 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: