Шешуі: жалпы жағдай
Қолайлы жағдай:
11 Паскаль үшбұрышы
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b++3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
Бұл екімүшеліктерді дәрежелеу амалының нәтижесінде шыққан коэффициенттер Паскаль үшбұрышын құрайды:
Б.Паскаль (1623-1662)-француз.
|
0
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1
|
1
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
2
|
1
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
3
|
1
|
3
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
4
|
1
|
4
|
6
|
4
|
1
|
|
|
|
|
|
|
| |
5
|
1
|
5
|
10
|
10
|
5
|
1
|
|
|
|
|
|
| |
6
|
1
|
6
|
15
|
20
|
15
|
6
|
1
|
|
|
|
|
| |
7
|
1
|
7
|
21
|
35
|
35
|
21
|
7
|
1
|
|
|
|
| |
8
|
1
|
8
|
28
|
56
|
70
|
56
|
28
|
8
|
1
|
|
|
| |
9
|
1
|
9
|
36
|
84
|
126
|
126
|
84
|
36
|
9
|
1
|
|
| |
10
|
1
|
10
|
45
|
120
|
210
|
252
|
210
|
120
|
45
|
10
|
|
| |
11
|
1
|
11
|
55
|
165
|
330
|
462
|
462
|
330
|
165
|
55
|
11
|
1
|
Паскаль үшбұрышы бойынша
(a+b)11=a11+11a10b+55a9b2+165a8b3+330a7b4+462a5b6+330a4b7+
+165a3b8+55a2b9+11ab10+b11,
сонымен
формуласы шығады. Мұны Ньютон биномы немесе Ньютон формуласы деп атайды.
Паскаль үшбұрышы негізінде мына тендіктер орынды:
a=b=1 тендігі орындалса,онда яғни бином коэффициенттерінің қосындысы 2n екінің n дәрежесіне тең.
Мына рекуренттік формула көптеген есептерді шығаруға пайдалы:
12 Кездейсоқ шамалар және олардың сипаттамалары
Анықтама. Тәжирібенің нәтижесінде әртүрлі мән қабылдай алатын шаманы кездейсоқ шама деп атайды.
Кездейсок шамалар x,y,арқылы белгіленеді де оның мәндерін x1,x2,…,xn; y1,y2…yn арқылы белгілейді. Кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндеріне қарап,оларды екі топқа бөледі:
Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар (дискретті-үзікті)
x кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шаманы дискретті деп атайды(үзікті шама).
Егер x кездейсоқ шамалы шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдайтын болса, оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды.
Мысалдар
1) ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны дискретті кездейсоқ шама. Оны x арқылы белгілесек қабылдайтын мәндері 1,2,3,4,5,6 болады;
2) екі ойын сүйегі лақтырылсын. Түскен ұпайлар санын ескерейік. Үлестірім заңын табайық.
Шешімі: Кездейсоқ шама x 2 ден 12 ге дейін, ал оның барлық жағдайы мәнін қабылдайды
1 2 3 4 5 6 7
36
1 2 3 4 5 6
Ықтималдықтарды есептейік:
Сонымен үлестірім заңы мына кестемен өрнектелер
|
X
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
| |
P
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кестедегі
Үлестірім кестесінің екінші жолда тұрған сандар теріс емес,яғни және ол сандардың қосындысы бірге тең.
X кездейсоқ шамасының х1,х2,…хn мүмкін мәндерінің әйтеуір бірін қабылдайтындығынан х1,х2,…хn бірікпейтін толық топ құрады.
Анықтама
Егер Х кездейсоқ шамалы 0,1,2…,n мәндерін қабылдау ықтималдығы
тендігімен анықталса (мұндағы k=0,1,2,…n, ал элементтен k-дан жасалған теру саны болса) онда х-ті бином (Бернулли) заңы бойынша үлескен деп атайды.
|
X
|
0
|
1
|
2
|
…
|
K
|
…
|
N
| |
p
|
qn
|
npqn-1
|
|
…
|
|
…
|
pn
|
Өздеріңізге таныс Бернулли формуласы.
Анықтама. Егер х кездейсоқ шамасы 0,1,2,…,n мәндерін қабылдаса n мейлінше үлкен болғанда, p тым аз болғанда pn(x=k)
Ықтималдығын жұықтап есептеуге мына формуланы қолданады
Бұл үлестірімді Пуассон заңы дейді. Пуассон формуласы Бернулли формуласынан шығатындығын дәлелдейік: Мұндағы ұмтылғанда
Биномдық Бернулли эаңының ұмтылғандағы тегі Пуассон үлестірімін береді.
Мысал. Заводтан шығатын өнімнің орта есептен алғанда 0,02 проценті жарамсыз бұйым. 2000 бұйымды алып тексергенде жарамсыз бұйымдардың саны 3-ке тең болу ықтималдығы қандай?
Шешуі. Жүргізілетін барлық тәжірибе саны n=2000. Әрбір тәжірибеде бұйымның жарамсыз болу ықтималдығы Пуассон формуласын қолдансақ
13 Дискретті кездейсоқ шамалардың математиқалық үміті және оның қасиеттері
Егер х кездейсоқ шамалы х1,х2,…,хn мәндерін p1,p2,…pn ықтималдықтарымен қабылдаса, онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті деп
қосындысын айтады да M(x) арқылы белгінеледі. Егер i=1,2,…,n,… болса онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті
Мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математиқалық үмітін табу. Анықтама бойынша
Сонымен, Пуассон бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың математиқалық үміті осы үлестіріндегі параметріне тең.
Кездейсоқ шаманың математиқалық үмітінің жуық мәні оның мәндерінің арифметиқалық ортасына тең болады,яғни
Математика үмітті механика тілінде үлестірімнің орталы(центр распределения) дейді, яғни ауырлық нүктесі.
Расында х1,х2,…,хn нүктелерінің массалары p1,p2,…pn болса, онда берілген жүйенің ауырлық нүктесі
Сөз соңында айтарымыз.
Пуассон Симон Дени (1781-1840) француз-математик; физик және механик.
Математиқалық үміттің қасиеттері:
1. Тұрақты шаманың математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең.
M(C)=C, C=const.
Кездейсок шама тек қана С мәнін қабылдайды да оның ықтималдығы бірге тең болады.
2. Тұрақты көбейткішті математиқалық үміт таңбаcының алдына шығаруға болады2
M(CX)=CM(x), C=const.
Анықтама бойынша
3. Екі кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына (айырымына) тең, яғни
Дәлелдеу: Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін дәлелденеді.
1. Екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса олардың көбейтіндісінің математикалык үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің көбейтіндісінде тең:
M(xy)=M(x/M/y)
Үшінші,төртінші қасиеттері n кездейсоқ шамалар үшін жалпылауға болады.
30. M(x1+x2+…xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)
40. мұндағы X1,X2,…,Xn-тәуелсіз кездейсок шамалар.
14 Дискретті кездейсок шамалардың дисперсиясы және оның касиеттері
Кездейсоқ шаманың мәндері оның математикалық үмітінен ауытқитындығы белгілі. Міне,осы ауытқуды бағалау үшін дисперсия ұғымы енгізіледі.
Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын Д(Х) таңбасымен белгілейді.
Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқыуының квадратының математикалық үмітін айтады.
(1)
Математикалық үміттің қасиеттерін пайдаланып (1) формуланы түрлендірейік:
осыдан дисперсияны есептеуге қолайлы формула шығады
(2)
формула былай оқылады
Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың квадратының математикалық үміті мен сол кездейсоқ шаманың математикалық үмітінің квадратының айырымы.
Мысал. Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясын тап.
Сонымен Пуассон заңы бойынша үлестірілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы да -ға тең.
Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы.
Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық үмітті массаның центрі деп алсақ.
Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол
сигма X деп оқылады.
Орташа квадрат ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытку деп атайды.
Теріс емес кездейсоқ шамалардың кездейсоқтығының дәрежесін анықтау үшін вариация коэффициенті анықталады
ол орташа квадрат ауыткудың математикалық үмітке қатынасы.
Енді дисперсияның қасиеттерін қарастырайық
Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең
Д(С)=0
Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша
Д(С)=М(С2)-М2(С)=С2-С2=0
Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады.
Шынында (2) формула бойынша
Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда
Д(x+y)=Д(x)+Д(y)
Дәлелдеу: (2) формулаға математикалық үміттің қасиеттерін қолданып кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін ескерсек.
Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың дисперсиясының қосындысына тең.
Үлкен сандар заңдары
Кездейсоқ факторлардың бірігіп әсер етуінің нәтижесінде кездейсоқ емес құбылыстардың пайда болатындығы әртүрлі салаларда кездеседі. Мұндай заңдылықтар, атап айтқанда қажеттіліктің кездейсоқтық арқылы келуі ықтималдықтар теориясына тән.
Тәжірибені шексіз көп жүргізгенде оқиғаның пайда болу жиілігі оның ықтималдығынан тым аз айырмашылықта болатындығын бұрын да атап өткенбіз.
Міне, бұл үлкен сандар заңының бір көрінісі. Үлкен сандар заңы деп кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасына тұжырымдалатын теоремаларды айтамыз
1867 жылы П.Л. Чебышевтың дәлелдеген теоремасы үлкен сандар заңдарының ішіндегі ең жалпы түрі болды және оның жасап кеткен әдісі мұндай заңдарды әрі қарай дамытуға жол ашты.
Достарыңызбен бөлісу: |
