Оқу-әдістемелік кешені

Лапластың интегралдық теоремасы

жүктеу 0,68 Mb.

бет	26/38
Дата	02.03.2023
өлшемі	0,68 Mb.
	#41556

1 ... 22 23 24 25 26 27 28 29 ... 38

Î?ó-?ä³ñòåìåë³ê êåøåí³ Êîêøåòàó 2013 æ ??ðàñòûðóøû À?ïàðòòû? æ?

Лапластың интегралдық теоремасы.
n рет тәуелсіз тәжірибе жасалынды делік. Әр тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу ықтималдығы р-ға тең (0n тәжірибеде А оқиғасының к₁-ден кем болмау, к₂-ден көп болмау ықтималдығын P_n(к₁, к₂) қалай табуға болады? Бұл сұраққа Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді.
Теорема: А оқиғасының әр тәжірибеде пайда болу ықтималдығы р тұрақты, 0 мен 1-ге тең болмаса, онда n тәжірибеде А оқиғасының пайда болу саны к₁-ден кем болмау, к₂-ден аспау ықтималдығы P_n(к₁, к₂) жуық шамамен анықталған интегралға тең:

мұндағы және
Анықталмаған интеграл элементар функциялар арқылы өрнектелмейтін болғандықтан, есепті шешуде арнайы кестелер қолданылады. Егер болса, онда функция Ф(х) Лаплас функциясы деп аталады. Арнайы кестеде (4-әдебиетте) Ф(х) функциясының х-тің оң мәндеріндегі, дәлірек айтқанда 0х5 алатын мәндері келтірілген. х0 болғанда да осы кесте қолданылады, тек бұл жағдайда Ф(х) функциясының тақ екенін ескеру керек, яғни Ф(-х)=-Ф(х), ал х5 болғанда Ф(х)=0,5 деп алынады.

Сонымен, А оқиғасының n тәжірибеде к₁-ден к₂-ге дейін пайда болу ықтималдығы мынаған тең:
Р_n(k₁,k₂)Ф(х^//)-Ф(х^/)
Мұндағы және
Мысалдар: 1. Қоймадағы тұқымға арналған астықтың шығымдылығы 80%. Осы астықтан қалай болса солай 100 дән алынған. Олардың ішінде шығымды тұқым саны: а) 68-ден 90-ға дейін; б) 80-нен кем болмау ықтималдықтарын табу керек.
Шешуі: Бір дәннің шығымдылық ықтималдығы р=0,8, ендеше q=1-p=0,2. Дән саны n=100.
а) к₁=68, к₂=906 я5ни 100 дәннің ішінде шығымды дәндер саны 68-ден 90-ға дейін болу ықтималдығын табамыз. Лапластың интегралдық теоремасын қолдансақ:
Р₁₀₀(68;90)Ф(х^//)-Ф(х^/)
х^/ пен х^// мәндерін табамыз.

ал Ф(х^/)=Ф(-3)=-Ф(3).
Кестеден Ф(3)-тің мәнін табамыз, Ф(3)=0,4986.
Онда –Ф(3)=-0,4986.

Ф(х^//)=Ф(2,5)=0,4938.
Ізделінді ықтималдық:Р₁₀₀(68; 90)0,4938+0,4986=0,9924.
б) 100 дәннің ішінде дәндер саны 80-нен кем болмау ықтималдығын табамыз к80, яғни 80к100, ендеше к₁=90, ал к₂=100 болады.
, Ф(х^/)=Ф(0)=0;
, Ф(х^//)=Ф(5)=0,4999.
Ендеше Р₁₀₀(80; 100)Ф(х^//)-Ф(х^/)=0,4999.
2. Детальдың техникалық бақылау бөлімінің тексеруінен өтпегендігінің ықтималдығы р=0,2. Кездейсоқ алынған 400 детальдың ішінде тексерілмегендерінің саны 70-тен 100-ге дейін болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Есептің шарты бойынша p=0,2; q=0,8; n=400; к₁=70; к₂=100.
Лапластың интегралдық теоремасын қолданамыз:
Р₄₀₀(70; 100)Ф(х^//)-Ф(х^/)
Интегралдың төменгі және жоғарғы шектерін есептейміз:

Олай болса, Р₄₀₀(70; 100)Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25).
Кесте бойынша Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.
Ізделінді ықтималдық Р₄₀₀(70; 100)=0,4938+0,3944=0,8822.

жүктеу 0,68 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 22 23 24 25 26 27 28 29 ... 38