-апта №13 дәрістің тақырыбы

№13 дәрістің тақырыбы:Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру.

1. Қосу формулалары.

2. Келтіру формулалары.

3. Көбейтінді және еселі аргумент формулалары.

Әдебиеттер (негізгі, қосымша):[9]; [10]

a). sin(α+β)= sinα⋅cosβ + cosα⋅sinβ                                  b). cos(α+β)= cosα⋅cosβ -sinα⋅sinβ

c). sin(α-β)= sinα⋅cosβ -cosα⋅sinβ                                     d). cos(α-β)= cosα⋅cosβ + sinα⋅sinβ

e). tg(α+β)=                                                        f). tg(α-β)= 

 

Екі еселі аргументтер формулалары:

a). sin2α= 2⋅sinα⋅cosα                                                      b). cos2α= cos²α -sin²α

c). 1+cosα= 2 cos²                                                          d). 1 -cosα= 2 sin²
14-апта

№14 дәрістің тақырыбы: Тригонометриялық теңдеулер.

1. Тригонометриялық теңдеулер.

2.Тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдері.

Әдебиеттер (негізгі, қосымша): [9]; [11]; [12]
Қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп 1) ; 2) ;3) ;4) түріндегі теңдеулерді атайды.

теңдеуінің барлық шешімі формуласында шектеледі.

болғанда теңдеудің шексіз көп шешімі болады және болғанда ешбір шешімі болмайды.

Осыған ұқсас, теңдеуінің барлық шешімі

Егер болса,онда

Егер болса,онда

Егер болса,онда

Егер болса,онда

Егер болса,онда .

Шешуі.

2. теңдеуін шешу.

Шешуі.Бұл теңдеудің шешімі болмайды,өйткені және .

Тригонометриялық теңдеулердің түбірлерін табу процесінде жалпы, кез келген теңдеулерді шешкенде сақталатын ережелердің орындалуын қамтамасыз ету қажет. Мысалы, түрлендіру барысында теңдеудің мәндестігінің сақталуын қадағалап, ол теңдеуге енген әрбір функциялардың анықталу облыстарын ескерген жөн.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу барысында қандай да бір тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге және осы түрлендіру процесінде тригонометриялық функциялардың қасиеттері мен теңбе – теңдіктерді қолдануға тура келеді. Осындай түрлендірудің нәтижесінде берілген теңдеуді мынадай қарапайым теңдеулердің біріне келтіруге тырысу керек.

(1)

Кез келген тригонометриялық теңдеуді шешуге болатын универсал тәсілді көрсетуге болмайды. Дегенмен мектепте математика курсында қарастырылатын тригонометриялық теңдеулерді шешуге қолданатын тәсілдерді қарастыруға болады.

1. Бір бұрыштың тригонометриялық функциясына келтіру. Бұл жағдайда тригонометриялық функциялардың біреуін екіншісі арқылы өрнектейтін формулаларды пайдаланып, түрлендірудің нәтижесінде бір функцияға байланысты алгебралық теңдеу шығады. Сол алгебралық теңдеуді шешу арқылы жоғарыдағы (1) түрдегі қарапайым теңдеулердің біріне келеміз.

М ы с а л. Теңдеуді шешіңіздер:

Ш е ш у і:

Егер десек, онда 8 осыдан

Онда және

Олай болса

Бұл қарапайым бірігуін былай жазуға болады:

Соңғы екі теңдеудің шешімдерін тапсақ, онда

Бірігуі былай жазылады:

Ж а у а б ы: және

Алгебралық теңдеуді шешіп оның түбірлерін тапқан соң тригонометриялық функцияларының мәндерінің жиынын ескерген жөн. Мысалы теңдеуінен және теңдеулерін аламыз. Мұның біріншісінің орындалуы мүмкін емес, себебі

Кей жағдайларда қандайда бір тригонометриялық өрнекке байланысты алгебралық теңдеудің шығуы мүмкін.

М ы с а л.Теңдеуді шешіңіздер:

Ш е ш у і. деп ұйғарайық ,сонда квадрат теңдеу аламыз: Бұл жағдайда яғни және tg3x 0, немесе

Шыққан квадрат теңдеудің бір ғана түбірі бар,ол: y=-1. онда

Енді функциялардың анықталмаған болатын аргумент мәндерінің жиынын жоғарыда табылған түбірлер жиынынан алып тастайық жағдайы орындалады, себебі бөлшектің сол жағындағы бөлімі тақ сан, ал оң жағындағы бөлімі жұп болғандықтан теңдіктің орындалуы мүмкін емес. теңдігі k₂ саны 3-ке еселі болғанда орындалады.Сондықтан берілген теңдеудің түбірлерінің жиыны - дан k саны 3-ке еселі болатындарын шығарып тастау қажет. теңдеуін былай шешуге болады.

Онда немесе бұл жиынға түріндегі мәндер енбейді.

Ж а у а б ы:

2. Көбейткіштерге жіктеу. Берілген теңдеуді теңдіктің бір жағы тригонометриялық өрнек, ал екінші жағы ноль болатын түрге келтіргеннен кейін, ол өрнекті көбейткіштерге жіктеу мүмкін болады делік. Бұл жағдайда бірнеше теңдеулер алынады. Әрбір теңдеуді шешіп, оның түбірлерін тапқан соң, табылған түбірлердің ішінен тек бастапқы берілген теңдеудің анықталу облысына тиістілері ғана оның түбірлері болатын ескерген жөн. Мысалы, теңдеуін түріне келтірген соң, шыққан теңдеулерінің біріншісінің түбірлері берілген теңдеудің түбірлері бола алмайды, себебі х-тің ол мәндерінде функциясы анықталмаған.

Әрине, тригонометриялық өрнектерді көбейткіштерге жіктейтін жалпы универсал тәсіл жоқ. Әрбір дербес жағдайда, оны сол өрнектің түріне және қандай тригонометриялық формулалар мен теңбе-теңдіктерді қолдануға болатындығына қарап анықтайды.