124
математикалықтың
алдында
болады
және
математикалық
объектілердің қасиеттерін анықтайды.
Осы бағытты Аристотель жалғастырады. Ол платонның идеялық
дүниесін, сонымен қатар математикалық объектілердің физикалық
емес тіршілігін жоққа шығарды. Аристотель үшін математика
объектілері- нақты дүниеден оймен басқа жаққа назар аудару.
Математикалық объектілерге нақты объектілердің көп түрлі
қасиеттерінен көңіл аудару ретінде көзқарас ХУП-ХУШ ғғ.
ғылымына да тән болды. Ньютон, мысалы, геометрияны «таза
математика» ретінде талқылаған, а.а. мүмкін болатын механикалық
қозғалыстың абстрактілі схемасы ретінде. Математика мәнінің
осындай тұжырымдамасы деректерге қарама-қарсы келді. Сондықтан
Лейбниц, математикалық абстракция нақтылықты көрсету қажеттілігі
туралы сұрақты қойған болатын. Математиктердің математикалық
бейнелердің нақты дүниеден бөлек екеніне көздері жетті. Кейінірек
өзінің математикаға деген философиялық көзқарастарын И. Кант
(априоризм идеясы) және Г. Кантор (ақиқат туралы ойлар) ұсынған.
ХІХ ғ. басында О. Коши математикаға тіршілік ету теоремаларын
енгізген, олар математикалық объектінің статусын түсінуде жаңа
кезең ретінде болды. Математикалық тіршілікті түсінуде алдыңғы
қатарға логикалық жағдай шыға бастады, сыртқы эмпирикалық жағдайға
негізделмей, өз математикалық анықтамалар негізінде қандай да бір
жорамалдың мүмкіндігін негіздеу талабы.
ХІХғ. аяғында математика, эмпирикалық нақтылыққа тікелей
байланысты емес, ерекше ғылым ретінде анықталды. Ол логикалық
қарама-қайшы емес талап-тілектерді қанағаттандыруға тиісті болды.
Математика анықтамаларының қарама-қайшы еместігінің талап-
тілектері, осы қарама-қайшы еместікті негіздеудің тиімді әдістері
көрсетілмегеніне дейін декларативті болады. Осыдан ХІХ ғ.
математиканы негіздеу мәселесі туындайды. Сол кезеңде математиканы
негіздеуге бірінші талпынысы ретінде, Кантордың жасаған көптілік
теориясына математикалық теориялардың барлығын келтіруге болатын
ойы пайда болған. Қаншалықты қарапайым көрінсе де, ол мүмкін
болмады. Мысалы, Б. Рассел көптілік теориясы мен оның негізгі
ұсынымдарының бастапқы ұғымдарының анықтамаларынан туындайтын
логикалық қарама-қайшылықты байқаған. Оның мәні келесіде. Көптілік
теориясының негізгі қағидаларына сәйкес, осы теорияға «барлық
көптіліктердің көптілігі» және «өз элементі ретінде болмайтын барлық
көптіліктердің көптілігі» сияқты объектілерді енгізуге болады. Берілген
қағидаларға сәйкес келесі пікірді атауға болады - «өз элементі ретінде
болмайтын барлық көптіліктердің көптілігі» өз элементі ретінде
есептелмейтін барлық көптіліктердің көптілігіне жатады. Осындай пікір
125
5.2 Логицизм
ақиқат пен жалғанға жатпайды да логикалық қарама-қарсылықты
білдіреді (парадокс). Логикалық тұрғыдан қарама-қарсы теория
математика негізіне алынбағандықтан, канторлық математика негіздеуі
жоққа шығарылды.
Осындай қиыншылықтар, сонымен қатар көптілік теориясының
басқа парадокстары математиканы негіздеудің құлдырауына әкелді.
Канторлық математиканы негіздеу дағдарысынан шығу жолын Б.Рассел
және А.Уайтхед математиканың гносеологиялық негіздерін өзгертуде а.а.
канторлық көптілік теориясын дәйектеуді шектеу қажеттілігінде тапқан.
Осындай шектеуде «өз элементі ретінде болмайтын барлық
көптіліктердің көптілігі» сияқты объектіні енгізуге тыйым салынған.
Жаңа анықтамада көптілікті енгізу тек келесі жағдайда ғана рұқсат
етілген, егер оның элементттері енгізілетін көптілік типінің тікелей
алдында болатын типтегі объекті болған жағдайда. Осының нәтижесінде
Рассел теориясы типтерге жіктеліп, заттар мен көптіліктерді зерттейтін
теория ретінде қалыптасып, «типтер теориясы» деп аталған. Көптіліктер
теориясының терминдерін логикалық терминдер ретінде анықтауға
болатындықтан, осы теорияны логика деп атайды. Аталмыш бағыт
«логицизм» атауына ие болған.
Негіздемеде
құрастырылған
математика
қатардағы математикадан өзгеше болған.
Біріншіден, гносеологиялық негіздемелердің шектеулеріне байланысты
математикадан маңызды орын алатын бөлімдер алынып тасталған.
Екіншіден, логистикалық математиканың өзі күрделі болды. Мысалы,
әрбір тип үшін, мәні бойынша жеке арифметиканы енгізу қажет болды.
Кантордың
көптіліктер
теориясының
гносеологиялық
негіздемелерінің өзгерістері, Рассел және басқа математиктер арқылы
байқалған парадокстарды жоққа шығаруға әкелді, бірақ метатеориялық
құралдар мен типтер теориясының қарама-қарсы еместігін дәлелдеу
мүмкін емес болды. Осы және басқа да себептер ғылыми қоғамдастықты
келесі қорытындыға әкелді, бүкіл математика үшін типтер теориясы
қанағаттанарлық негіздеме бола алмайды. Бұның басты себебі,
математика пәнін шектейтін дәйектемелерді енгізетін типтер
теориясының гносеологиялық негіздемелеріне байланысты.
Формалистік бағыттың негізін қалаушы Д.Гильберт математиканы
негіздеуге
жаңа тәсілдеме ұсынған. Формализм тұрғысынан
математикалық теорияны негіздеу, оның мазмұнына байланысты
болмауға тиісті. Оған қарамастан гильберттік математиканы негіздеу
бағдарламасы келесі себептерге байланысты мүмкін болмады.
Біріншіден, теория нысаны арқылы оның мазмұнын көрсету болғанымен,
кейбір теориялар үшін, мысалы, нақты сандар арифметикасы (Гедельдің
Достарыңызбен бөлісу: |
