Ылым тарихы мен философиясы

 
 
121 
-  олардың  жалпылығының  жоғары  дәрежесімен  (мысалы, 
алгебрада  әріп  кезкелген  санды  білдіреді,  математикалық  логикада 
еркін сөздер қарастырылады ж.т.б.). 
Математика  ұғымдардың  абстрактілігі  мен  жалпылығы  бір 
математикалық  аппаратты  әртүрлі  ғылымдарда  қолдануға  мүмкіндік 
береді. 
    Математика  пән  ретінде  математикалық  объектілердің  жүйелері 
болып  табылады.  Бұндағы  жүйе  объектілердің  көптілігі  және  осы 
объектілердің арасындағы қатынастардың көптілігі. 
Математикалық  объектілер  математикалық  теориялардың 
қалыптасуында маңызды орынға ие болады. 
Абстрактілі  объект  -  оның  анықтамасында  орын  алатын 
қасиеттерге  ие  болатын  объект.  Математика,  анықтамаларындағы 
мағынасын  сақтай  отырып,  мазмұнынан  толығымен  тысқары 
нысандар  мен  қатынастарды  зерттейді.  Осыған  байланысты 
математикадағы 
нәтижелер 
анықтамаларындағы 
логикалық 
қорытындылар  жолымен  алынады,  сондықтан  таза  математикаға 
дедуктивті ойлау тән. 
Математикалық объектілер абстрактілі объектілермен қатар таза 
объектілер  (а.а.  «шексіздігіне  дейін»  келтірілген  белгілер  арқылы 
анықталады). Белгілі бір белгілерді «шексіздігіне дейін», «абсолютқа 
дейін»  келтіру  таза  ой  деп  аталады.  Математикадағы  таза  ой  нақты 
объектілердің  сандық  сипаттамаларын  нөлге  дейін  немесе 
шексіздігіне дейін жеткізу. 
Нақты  дүниедегі  математика  пәні  нақты  дүниенің  кеңістік 
нысандары мен сандық  қатынастарын білдіреді. Осыдан сұрақ  пайда 
болады: сандық қатынастарды нақты түрінде қалай көрсетуге болады, 
а.а. объектілердің мазмұнына байланыссыз қалай  суреттеуге  болады. 
Нақты  дүниенің  сандық  қатынастарының  мысалдары  мәлім.  Олар 
теңдік  қатынастары,  геометриялық  қатынастар,  өзара  өлшемділік 
қатынастары ж.т.б. 
Математиканың  даму  тарихында  оның  негізгі  тәсілдері:  талдау 
және  сараптау,  индукция  және  дедукция,  жалпылау  және 
абстрактілеу,  аналогия  және  аксиоматиканың  әртүрлі  типтері 
(мазмұндық, жартылай ресми және ресми) біртін-біртін қалыптасты.  
Нысанды бөліп көрсету тәсілдері таза түрінде көптүрлі. Ол үшін 
логика-математикалық  тілдер  қолданылады.  Ерекше  маңызға 
аксиоматикалық тәсіл ие болады.  
Аксиоматикалық  тәсіл-қатынастар  орын  алатын  объектілердің 
ерекшеліктерін  есепке  алмай  сандық  қатынастарды  суреттеу.Осы 
тәсілдің  маңызды  белгісі,  аксиоматикалық  теорияда  барлық 
терминдер  бастапқы  және  туынды,  ал  ұсыныстар  дәлелденбейтін 

 
 
122 
(аксиома) 
және 
дәлелденетін 
(теорема) 
деп 
бөлінетінінде. 
Теоремаларды  дәлелдеу  ресми  логикалық  дедукцияға  немесе  логика 
ережелері  көмегімен  аксиомадан  оларды  шығаруға  негізделеді. 
Математикалық  теория  аксиомаларын  мен  олардың  логикаларын 
мазмұндық 
және 
ресми 
түрлерге 
бөлінуіне 
байланысты 
аксиоматиканың  үш  түрі  болады-мазмұндық,  математикалық 
теорияның  мазмұндық  аксиомалары  мен  қалыптаспаған  логикада 
болатын  (Евклидтің  өз  баяндауындағы  евклидтік  геометриясы), 
жартылай  ресми,  ресми  аксиомалар  мен  қалыптаспайтын  интуитивті 
логикада  болатын  (мысалы,  «Геометрия  негіздемесі»  еңбегінде  Д. 
Гильберт көрсеткен евклидтік геометриясы), және толығымен ресми, 
математикалық теория мен логиканың ресми аксиомалары. 
Математиканың  тұтас  білім  жүйесі  болғанына  қарамастан,  ол 
теориялық  (таза)  және  қолданбалы  болып  бөлінеді.  Теориялық 
математика  шеңберінде  мазмұндық  және  ресми  білімді  бөлу  орын 
алады.Мазмұндық 
математикаға 
абстрактілі 
математикалық 
объектілердің  жүйелерін  зерттейтін  теориялар  жатады  (сандық 
жүйелер,  алгебралық  жүйелер,  геометриялық  пішіндердің  жүйелері 
ж.т.б.).  Ресми  математикаға  міндетті  түрде  интерпретациямен 
байланысты болмайтын ресми теориялар (есептеулер), ұсыныстар мен 
терминдер жатады. 
 
 Математика 
пәнін 
анықтауда 
үш 
аспекті 
бөлінеді- 
синтаксикалық,  семантикалық  және  прагматикалық.  Математикалық 
танымның негізгі сипаттамасы дәлелдеу болып табылады. 
 
Сонымен, математика және оның тәсілдері рөлінің өсуі ХХ және 
ХХ1  ғасырлар  ғылымының  маңызды  сипаттамасы  болып  табылады. 
Логика  бұнда  математика  әдісімен  қатар  математикалық  теория 
ретінде орын алады. 
Математика  философиясы,  бір  жағынан,  философия  бөлімі, 
басқа  жағынан-математиканың  жалпы  әдістемесі  болып  табылады. 
Оның  негізгі  мәселелері-математиканың  мәнін,  оның  пәні  мен 
тәсілдерін,  математиканың  ғылымдағы  және  мәдениеттегі  алатын 
орнын анықтау. Математика философиясының тәсілдері- рефлексивті, 
проективті,  нормативті.  Математика  философиясы  математиканы 
болжамды бағдарлау қызметін атқарады. 
Математикалық 
объектілердің 
статусы 
туралы 
сұрақ 
математикадағы  тіршілік  мәні  туралы  жалпы  сұрақпен  байланысты. 
Қандай  объектілер  математикада  жалпы  орын  алуы  мүмкін?  Осы 
сұраққа  жауап  беру  үшін  математика  тарихы  мен  философия 
тарихына жүгінейік.  
 
 

 
 
123 
5.1 Пифагореизм 
 
Математиканың  бірінші  философиялық 
теориясы-математикалық 
білімді 
кез 
келген  басқа  білімнің  қажетті  негізі  және 
нақты  бөлігі  ретінде  қарастырды.  Философиялық  бағыт  ретінде 
пифагореизм  философиялық  математика  шеңберінен  шығады,  бірақ 
математикалық  білім  мәнін  анық  талқылау  оның  орталығында 
орналасады. 
Математика бастамасы көне заманнан (Мысыр мен Вавилоннан) 
басталады.  Бірақ,  ғылымның  көптеген  тарихшылары  математиканың 
теориялық  пән  ретінде  пайда  болуын  кейінгі,  оның  дамуының  грек 
кезеңіне 
жатқызады, 
себебі, 
мысырлық 
және 
вавилондық 
математикада  күрделі  және  нақты  нәтижелердің  көп  болуына 
қарамастан, математикалық, дедуктивті талқылау орын алмаған. 
Грек  математикасының  қосқан  маңызды  үлесі  дәлелдеуде 
немесе  дедуктивті  қорытындылауда  болып  табылады.  Гректер 
арифметикалық  амалдардың  анықтылығын,  шартты  қажеттілігін, 
парасатқа  мәжбүрлілігін  байқаған  және  осы  жағдайды  сандардың 
ақиқатқа  қатынастарының  ерекше  көрінісі  ретінде  анықтаған. 
Пифагорлықтарда  философия  сандар  мен  геометриялық  пішіндер 
мистикасына айналды, кандай да бір дүние туралы тұжырымдаманың 
ақиқатына жету, оны сандық гармонияға келтіру арқылы орындаған.  
Ертедегі 
пифагорлықтар 
математикалық 
заңдылықтың 
табиғатына,  оның  анық  ақиқатының  негізі  бар  екендігін  ойланбаған. 
Бірақ  Платоннның    осыған  байланысты  кейбір  теориясын  табамыз. 
Платон  үшін  математикалық  ақиқат  туа  біткен,  рухтың  жетілген 
дүниедегі,  өз  бетімен  алған  ақиқаттың  әсері.  Сондықтан, 
математикалық  таным  тек  еске  түсіру,  оған  тәжірибе  мен  табиғатты 
байқау  қажет емес, оған ақылмен көру ғана қажет.  
Математикалық  атомизм  пифагорлық  философиямен  қатар 
болған.  Ол  Левкипп  пен  Демокрит  атомизмінен  келе  жатқан  нақты 
математикалық  философия.  Демокрит  бостықта  геометриялық 
құрылғылардың мүмкіндігін жоққа шығарған: ол үшін геометриялық 
пішіндер  атомдардан  құралатын  материалдық  денелер  болды. 
Математикалық  атомизм  жалпы  математика  табиғатына  ерекше 
көзқарас  ретінде  емес,  геометриядағы  ерекше  эвристикалық  ой 
ретінде пайда болған. Бірақ, оның мазмұнында пифагореизмге айқын 
емес белгілі бір антитеза болған. Пифагорлықтар үшін математикалық 
объектілер (сандар) онтологиялық мағынадағы дүниенің негізін және 
оны  түсіну  негізін  құрған  болса,  атомистік  эвристикада 
математикалық  заңдылықтар  атомдарға  қатынасы  бойынша  екінші 
ретті 
болады. 
Бұнда 
физикалық 
логикалық 
тұрғыдан