1.4. Үш белгісізі бар екінші дәрежелі теңдеулерді шешуге арналған мысалдар.
1 – мысал. x2 + y2 = z2 (1) теңдеуі берілсін.
Бұл есептің геометриялық шешімі катеттері х, у гипотенузасы z бүтін сандар болатын барлық тік бұрышты үшбұрыштарды табу. Мұндағы х, у сандарының ең үлкен ортақ бөлімін d арқылы белгілейік: d = (х, у), сонда
x = x1d, y = y1d
және (1) теңдеу мына түрге келеді:
x1 2 d 2 + y1 2 d 2 = z 2
Бұл теңдеуден z 2 санының d 2 санына бөлінетіні көрініп тұр, демек z = z1 d.
x1 2 d 2 + y1 2 d 2 = z12 d 2
Теңдіктің екі жағын да d 2 санына бөліп жіберсек,
x1 2 + y1 2 = z12
теңдеуін аламыз. Біздің соңғы теңдеуіміз бастапқы теңдеуге келеді, бірақ х1 және у1 сандарының бірден басқа ортақ бөлгіші жоқ. Сондықтан (1) теңдеуді шешкенде x, y өзара жай сандар деген шешіммен шектелуге болады. Сонда (х, у) = 1 болсын, демек, х немесе у мәндерінің ең болмағанда біреуін тақ деуге болады.Теңдеудің оң жағына y2 белгісізін өткізейік:
x2 = z2 - y2 , x2 =(z+у)(z–у), (2)
d1 = (z+у, z -у) болсын, сонда
z+у = а d1, z–у = bd1, (3)
мұндағы a, b - өзара жай сандар. Ал (3) теңдіктің мәндерін (2) – теңдеуге қойсақ:
x2 = a b d12,
a, b сандарының ортақ бөлгіші болмағандықтан, бұл теңдік a, b толық квадрат болғанда ғана орындалады. Сондықтан біз a = u2, b = v2 деп белгілейміз. Сонда
x2 = u2 v2 d12 және x = u v d1 (4)
Енді (3) теңдіктен y және z мәндерін табайық:
2z = ad1 + bd1 = u2 d1 + v2 d1, (5)
2y = ad1 - bd1 = u2 d1 - v2 d1, (6)
х тақ болғандықтан u, v және d1 сандарын да тақ деп алайық. d1 = 1 болады, себебі: x = u v d1 және теңдіктерінен х және y сандарының ортақ бөлгіші d1 ≠ 1 десек, онда олардың жай сан екеніне қарсы келеміз. Мұндағы u және v өзара жай a және b сандарымен байланысты, сондықтан u және v өзара жай сандар және (3) теңдіктен b < a екендігі шығады, демек, v < u. Сонда 4 – 6 теңдіктеріне d1 = 1 мәнін қойсақ, мына формулаларды аламыз:
x = u v, , , (7)
Мұндағы u және v өзара жай тақ сандар және v < u (7) формуладағы бастапқы u, v мәндері көбіне жиі кездесетін мына теңдіктерді құрайды:
32 + 42 = 52 (v =1, u = 3),
52 + 122 = 132 (v =1, u = 5),
152 + 82 = 172 (v =3, u = 5).
(7) формула (1) теңдеудің x, y, z сандарының ортақ бөлгіші болмағандығы шешімдерін береді. Ал (1) теңдеудің қалған шешімдері (7) формуланы қамтитын шешімдерді кез – келген ортақ көбейткіш d санына көбейткеннен шығады.
2 – мысал. x2 + 2y2 = z2 (8) теңдеуінің барлық шешімдерін табайық.
x, y, z (8) теңдеудің шешімдері болып, бірден басқа өзара ортақ бөлгіші болмаса, олар екеуара жай болады. Шындығында, егер х және y жай р санына бөлінсе, р > 2, онда
теңдігінің сол бөлігі бүтін сан және z р санына бөлінетіндігі шығады. Ал х және z немесе y және z р санына бөлінсе де солай болады.
x, y, z сандарының ортақ бөлгіші 1 болу үшін, х тақ сан болуы керек. Шындығында, х жұп болса, онда (8) теңдеудің сол жағы жұп сан болады және z саны да жұп болады. Бірақ x2 және z2 4 – ке бөлінеді. Демек, 2y2 саны да 4 – ке бөлінуі керек, басқаша айтқанда, у саны да жұп болуы керек. Сонымен, х тақ болатындықтан, z саны да тақ болуы керек. Ал x2 теңдеудің оң жағына өтсе
2y2 = z2 - x2 =(z+x)(z–x),
теңдігін аламыз. Бірақ (z+x) және (z–x) сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші d болсын. Сонда z+x = к d, z–x = ld, мундағы к, l - бүтін сандар. Екі теңдікті қоссақ және азайтсақ, мына теңдіктерді аламыз:
2 z = d(к+l), 2x = d(к-l),
х және z тақ және өзара жай сандар, сондықтан 2х және 2z сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші 2 болады, яғни d = 2.
Осынымен, немесе тақ болады. Сондықтан z+x және өзара жай, немесе және z–x өзара жай сандар.
Бірінші жағдайда, теңдігінен
z+x = n2, z–x = 2m2 екендігі шығады.
Екінші жағдайда, теңдігінен z+x =2m2, z –x = n2 шығады, мұндағы m және n бүтін сандар, m - тақ сан және n > 0, m > 0. Ал х және z белгісіздеріне қатысты жүйені шешсек, у мәнін табамыз:
,
немесе
.
Екі формуланы біріктіріп, x, y, z шешімдерін былай жазуға болады:
Мұндағы m - тақ сан, x, z - бүтін сандар болуы үшін, n жұп болуы қажет.
n = 2b, m = a десек, (8) теңдеудің барлық шешімдерін беретін соңғы формуланы аламыз:
x = ± (a2 – 2b2), у = 2ab, z2 = a2 + 2b2, (8/)
мұндағы a, b өзара жай оң сандар және а тақ сан, сонымен қоса a, b мәндері х оң болатындай таңдалып алынады. (8/) формуласы (8) теңдеуінің x, y, z үшеуі де өзара жай оң сандар болғандығы барлық шешімдерін береді.
Достарыңызбен бөлісу: |
