Диплом жұмыс Тақырыбы: Бүтін сандар жиынында теңдеулерді шешу. Орындаған: Нысанова Эльмира

жүктеу 2,18 Mb.

бет	7/26
Дата	24.05.2023
өлшемі	2,18 Mb.
	#42757
түрі	Диплом

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 26

Дип.-Бүтін-сандар-жиынында-теңдеулерді-шешу

1.5. X² – AY² = 1 түріндегі теңдеудің барлық шешімдерін табу.

X² – AY² = 1 екі белгізі бар екінші дәрежелі теңдеу, мұндағы А – кез – келген толық квадрат емес бүтін оң сан. Мұндай теңдеулерді шешудің жолын табу үшін, алдымен түріндегі ирррационал сандарды үздіксіз бөлшектерге жіктеуді қарастырайық. Евклид алгоритмі бойынша кез – келген рационал санды шектеулі тізбек түрінде жазуға болады, ал иррационал санды шектеусіз тізбек түрінде жазуға болады.
Мысалы үшін санын үздіксіз бөлшек түрінде жазайық.Ол үшін төмендегідей тепе – тең түрлендіруін пайдаланамыз:
( - 1)( + 1) = 1,
- 1 = ,
- 1 = .
Бөлшектің бөліміндегі - 1 айырымын мәні соған тең өрнегімен алмастырамыз да, келесі бөлшек тізбегін аламыз:
- 1 = , =
Тағы да алдыңғыдай алмастыру жасасақ, келесі бөлшек тізбегін аламыз:
=

Осы процесті ары қарай жалғастыра отырып, үздіксіз бөлшек тізбегін аламыз:

= (1)
тепе – теңдігіне негізделіп, жоғарыда қолданған бөлшек тізбегіне жіктеу әдісі кез – келген иррационал үшін жарамайды. A бүтін саны A = m² + 1 түрінде берілсе ғана қолдануға болады, мұндағы m - кейбір бүтін сан және m ≠ 0. Енді (1) түріндегі ақырсыз бөлшек тізбегі үшін, δ₁, δ₂, δ₃ ... лайықты бөлшектер тізбегін құрастырайық:
δ₁ = 1, δ₁ < .
δ₂ = , δ₂ > , (2)
δ₃ = , δ₃ <
δ₄ = … = , δ₄ > . т.с.с.
Лайықты бөлшектер құру тәсілі бойынша,
δ₁ < δ₃< … <
δ₂ > δ₄ > … >

теңсіздіктері шығады.

Жалпы жағдайда кез – келген α₁ иррационал санын ақырсыз бөлшек тізбегіне жіктеу берілсін:

Онда лайықты бөлшектер үшін келесі теңсіздік орынды:
δ₁ < δ₃< … < δ_2k+1< … < α < …< δ_2k< …< δ₄< δ₂ (3)
δ_k лайықты бөлшегін

түрінде жазайық.
Алдыңғы тақырыпта ақырлы бөлшек тізбектері үшін қолданған (1.3 - 6) қатынасы:
P _k = P_k-1 q _k + P_k-2 , Q _k = Q_k-1 q _k + Q_k-2
ақырсыз бөлшек тізбектері үшін де сақталады. Біз еш жерде бөлшек тізбегі ақырлы болады дегенді пайдаланбаған едік, сондықтан көршілес лайықты бөлшектер арасындағы (1.3 - 7) қатынасы да сақталады:
- = (4)
(4) қатынастың дербес жағдайы
=
Енді мына теңсіздіктің орынды екенін көрсетейік:

0 < < (5)

Шындығында, бұл теңсіздіктің сол жағы (3) теңсіздікке сүйенсек, бірден шығады:
.
(5) теңсіздіктің оң бөлігінің дұрыстығын да дәледеу қиын емес,
,
теңдігінің δ_k лайықты бөлшегін бөлшегімен алмастырайық:
- α <
Шыққан теңсіздікті Q_2k - ға көбейтсек, күткен нәтижеге жетеміз:
< .
Соңғы теңсіздікті x²- 2y²= 1 (6) теңдеуін шешу үшін қолданайық. Теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктейік:

жүктеу 2,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 26