lang=KZ >КІРІСПЕ
lang=KZ >
Математика барлық тұжырымдар ақыл
қорытындысы арқылы, яғни адамның ойлау қабілеті
заңының жолдарын қолданып,
> дәлелденетін ғылым болып табылады.
Адамның ойлау қабілетінің заңын оқу логика
пәні болып табылады.
Логика өз алдына ғылым болып грек философы
lang=KZ >Аристотельдің
>
(384-322 ж.ж б.э.д)
> еңбегінде
нақтыланған. Ол өзіне дейінгі мәліметтерді
жүйеледі және осы жүйе кейін формальды немесе Аристотель логикасы деп аталды.
Формальды логика еш өзгеріссіз 20 ғасырдай өмір сүрді. Математиканың дамуы Аристотель логикасының жетіспеушіліктерін көрсетті және оның әрі қарай дамуын талап етті.
Математикалық негізде логиканы
құру идеясын тарихта алғашқы болып неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) XVI ғ. аяғында айтты. Ол логиканың негізгі ұғымдарын арнайы шарттармен байланысқан символдармен белгіленуі тиіс дейді. Бұл кез-келген ойларды есепке ауыстыруға мүмкіндік береді.
> Алғашқыболып Лейбництің айтуын жүзеге асырған ағылшынғалымы
>Д. Буль (1815-1864). Ол айтылымдар әріптермен белгіленген алгебраны құрды жәнебұл айтылымдар алгебрасын дүниеге әкелді. Логикағасимвлодық белгілеуді ендіру, бұл ғылымға маңызды болды. Дәл осы символдарды логикаға ендіру жаңа математикалықлогика ғылымының негізін қалады.
Логикада математиканы қолдану логикалық теорияларды жаңа формада кқруге мүмкіндік берді және есептеуіш аппараттарды адамның ойлау қабілеті жетпейтін есептерді шешуде қолдану логиканың зерттеу облысын кеңейтті.
XIXғ. аяғ ;ында математика үшін актуальді мәнге ие болатынсұрақтар туындады, яғни оның негізгі ұғымдары мен идеялары бойынша.Бұл мәселенің логикалық негізі болды жәнебұл математикалық логиканың әрі қарай дамуына алып келді. Бұл қатынаста неміс математигі Г.Фреге (1848-1925) және итальян математигі Д. Пеано (1858-1932) еңбектерінде көрсетілген.
Математикалық
ойлаудың ерекшеліктері математикалық абстракция және олардың байланыстарының түрлілігінің ерекшеліктеріментүсіндіріледі.
Осыған орай осы заманғыматематикалық логиканы математиканың бөлімі ретіндеқарастырады.
Математикалық логиканыңдамуының негізгі себептерінің бірі әртүрліматематикалық теорияларды құруда аксиоматикалықә дістердің кең таралуы болып табылады.
Математикалық теорияны аксио матикық құруда алдын-ала кейбір белгісіз жүйе
ұғымы және олардың арасындағы қатынастандалады. Осы ұғымдар мен қ атынастар негізгі деп аталады.Әрі қарай дәлелдеусіз теория қарастыратын негізгі орынаксиома қолданылады. Барлық алдағы теорияныңмазмұны аксиомадан логикалық түрде шығарады Математикалық теорияда аксиоматикалық құ рудыалғ ашқы болып геометрияны құруды Эвклид қолданды.
Бұл теория алғашқыдаәлсіз түсіндірілді. Эвклид мұнда негізгіұғымдарға (нүкте, түзу, жазықтық)анықтама бергісі келді. Теорияны дәлелдеуде еш жердежинақталмаған орын қолданылды.
Теорияны аксиоматикалық құру
тәсілі XIX ғ. дейін жалғыз болды. Осы әдісті
өзгертуде Н. И. Лобаче вский(1792-1856) еңбектерінің маңызы зор болды.
Лобачевский алғашқы болып Евклидтің 5 постулатының дәлелденбейтінін айтты және осы айтуын жаңа геометрияны құруда нақтылады. Кейін неміс математигі Ф.Клейн (1849-1925) Лобачевский геометриясын дәлелдеді. Осылайша математика тарихында олардың еңбектері алғашқы болып аксиоматикалық теорияның ділелденбейтін мәселесі көрсетілді.
Қарсылықты емес аксиоматикалық теория осы теорияның аксиома жүйесіне қойылатын негізгі талаптардың бірі болып табылады.
>
> Қарсылықты емес
математикалық теорияны дәлелдеудің әртүрлі тәсілі бар. Осының бірі интерпретация болып табылады. Мұнданегізгі ұғым мен қатынас ретінде кейбір жиынның элементтері
және олардың арасындағы қатынас таңдалады, одан кейін тексеріледі.
Математикалық теория үшін интерпретацияның көпшілігі жиын теориясының қорында құрылады.
Бірақтан, XIX ғ. аяғында жиын теориясында кемшіліктер пайда болды (жиын теориясының парадоксы). Осыған мысал ретінде Б. Рассела парадоксы болыптабылады.
Барлық ойланды жиынды екі класқа бөлеміз. Жиынды “дұрыс”, деп айтамыз егер ол өзініңэлементі ретінде өзі болмаса және “дұрыс емес” кері жағдайда Мысалы, барлық кітаптар жиыны дұрыс жиын, ал ойдағы заттаржиыны дұрыс емес жиын . L –барлық дұрыс жиындар жиыны болсын.Онда L қай жиын класына жатады?
ЕгерL – “дұрыс” жиын болса, онда L Î L,яғни дұрыс жиын класында,бірақ ол өз элементі ретінде өзі кіреді, сондықтан ол“дұрыс емес”.
Егер L – “дұрыс емес” жиын болса, онда
L Ï
> L, яғни
дұрыс жиындар құрамында жоқ, бірақ
> L өз элементі ретінде өзі
кірмейді, сондықтан ол
“дұрыс”. Осылайша дұрыс жиын ұғымындақарама-қайшылық туындайды.
Теорияжиынында қарама-қарсылықты жою ЦЕРМЕЛО-ныаксиоматикалық жиын теориясын құру қажеттілігіне алып келді. Кейінгі өзгерістерге байланысты бұл теория осы заманғы жиын теориясы құрылды.
Математиканынегіздеудің басқа тәсілдері Д. Гильберт (1862-1943) және оның мектебінде дамытылды.Олар математикалық теорияны құруды синтаксистік теория негізіне сүйене отырып
құрды.
Осылайша, математикалық теорияның қарсылықты еместігін
дәлелдеу басқа математикалық теория пәні болды, оны Гильберт математика немесе дәлелдеу теориясы деп атады.
Осытұрғыда синтаксистік, яғни фромальданған аксиоматикалық теорияны математикалық логика негізінқұру мәселесі туындайды. Әртүрлі тәсілменаксиома жүйесі және басқа формуланы шығару шартынтаңдауда әртүрлі синтаксистік логикалық теорияныаламыз. Олардың әрқайсысын логика есептелімі деп атаймыз.
Бұл курста біз классикалықтұжырымдар есептелімімен танысамыз.
1.1. Тұжырым ұғымы
1.2. Тұжырымдарға қолданылатын логикалық амалдар. Терістеу
1.3. Конъюнкция
1.4. Дизъюнкция
1.5. Эквиваленция
1.6. Импликация
1.9. Негізгі тепе-теңдіктер
1.10. Формулаларды тепе-тең түрлендіру
1.12. Нормал және жетілдірілген формалар
1.13. Формулаларды ақиқаттық мәндер кестесі бойынша қалпына келтіру
1.14. Логикалық байланыстардың толық жүйелері
1.1. Тұжырым ұғымы
1.5. Эквиваленция
1.6. Импликация
1.7. Тұжырымдар алгебрасының формулалары
1.8. Тұжырымдар алгебрасының пара-пар, тепе-тең ақиқат және тепе-тең жалған формулалары
1.9. Негізгі тепе-теңдіктер
1.10. Формулаларды тепе-тең түрлендіру
1.12. Нормал және жетілдірілген формалар
1.13. Формулаларды ақиқаттық мәндер кестесі бойынша қалпына келтіру
1.14. Логикалық байланыстардың толық жүйелері