2-Дәріс. Сәйкестік және оның қасиеттері Функциялар мен бейнелеулер. 2 сағ)
Дәріс конспектісі. Сәйкестіктер – жиын элементтерінің арасындағы өзара байланысты беру тәсілі. Оның дербес жағдайлары: функциялар, бейнелер, түрлендірулер, т.б.
Анықтама. А, В жиындарының арасындағы сәйкестік деп бұл жиындардың тура (декарт) көбейтіндісінің G ішкі жиынын айтады.
G AхB Егер (a,b)G болса,G сәйкестігінде b a-ға сәйкес деп айтады. G={a|(a,b)G, G сәйкестігінің анықталу облысы, ал G={b|(a,b)G} мәндер жиыны деп аталады.
Анықтама. Егер G=A болса толық анықталған сәйкестік, AA болса толық емес (жартылай) сәйкестік болады. (толық анықталмаған).
Анықтама. Егер G=B – сюръективті сәйкестік деп аталады. (В-ның әрбір элементінің А прообразы бар) Анықтама А жиынының әрбір aA элементіне B жиынының G сәйкестігіндегі а-ға сәйкес барлық bB элементтерінің жиыны a элементі- нің образы, ал әрбір bB элементіне А жиынының G сәйкестігіндегі в-ға сәйкес барлық aA элементтерінің жиыны b элементінің А жиынындағы прообразы деп аталады.
Анықтама. Барлық а С G элементтерінің образдарының жиыны С жиынының образы деп аталады. Барлық вDG элементтерінің прообраздарының жиыны D жиынының прообразы деп аталады.
Анықтама. Егер анықталу облысынан (G) алынған кез-келген а элементінің мәндер жиынында (G) бір ғана образы bG болса, G – функционал (бір мәнді) сәйкестік деп аталады.
Анықтама. Егер G сәйкестігі толық анықталған,сюръективті, функционалды және bG элемен тінің анықталу облысында бір ғана прообразы aG болса, онда G өзара бір мәнді сәйкестік болады.
Егер А мен В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік болса, онда олардың қуаттары тең және олар тең қуатты жиындар |A|=|B| деп аталады.Бұл фактілер жиынды санамай-ақ,олардың тең қуаттылығын анықтауға болатындығын көрсетеді. Қуаты белгілі немесе оңай санауға болатын басқа жиынмен өзара бір мәнділігін дәлелдеу арқылы жиын элементтерін санамай-ақ оның қуатын анықтауға болады. N натурал сандар жиыны мен тең қуатты жиындар саналымды жиын деп аталады.
R нақты сандар жиынымен тең қуатты сандар континуальды деп аталады.
1- мысал. Айталық , G (x-3)2+(y-2)2≤1 қатынасын қанағат тандыратын барлық (х,у) нақты санды сандар жиыны болсын. G={(x,y)|x,y үшін (x-3)2+(y-2)2≤1} сәйкестігінің графикалық кескіні центрі (3,2) нүктесінде болатын ,радиусы 1-ге тең дөңгелек. Бұл 3.2 суреттегідей G дөңгелегі R мен R арасындағы сәйкестік ( яғни ОХ өсі мен ОУ өстерінің арасындағы сәйкестік).
а) 2, 3, 4 сандарының образы мен прообраздарын табу керек.
Шешуі: 2G G сәйкестігіндегі образы жалғыз ғана 2G, 3-ң G сәйкестігіндегі образы [1,3] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны , 4-ң образы 2. G сәйкестігінің мәндер жиыны G алын ған (2G ) 2 санының G сәйкестігіндегі прообразы [2,4]G ; 3G G сәйкестігіндегі прообразы 3G. 4G – G сәйкестігінде прообраздары жоқ
б) 1) [2,3] G сандарының образы осы [2,4] кесіндідегі барлық образдарының бірігуі, яғни [1,3]G;
2) Осыған ұқсас [2,4] кесіндісінің G сәйкестігіндегі образы [1,3];
3) [2,3] кесіндісінің прообразы [2,4] ; [2,4]G прообразы [2,4];
Егер G сәйкестігі нақты сандар жиынында анықталған десек, яғни GRхR онда
1) G – толық анықталмаған себебі ,GR (GR)
2) Сюръективті емес себебі , GR (GR)
3) Функционалды (бір мәнді) емес, себебі [2,4]=G үшін (2 мен 4-тен басқа) образдар жалғыз емес.
4) Өзара бір мәнді болудың қажетті шарттары (1,2,3 шарттар) орындалмағандықтан сәйкестік өзара бір мәнді емес.
Егер сәйкестік G [2,4]х[1,3] болса G толық анықталған және сюръективті ,бірақ функционал ды және өзара бір мәнді емес.
2 мысал. Айталық G сәйкестігі x-2=y, x,y≥0 түзуінің бойындағы нүктелер жиыны
G={(x,y)|, x-2=y, x,y≥0}; G={ элементтері x-2=1 қатынасын қанағаттандыратын нүктелер жиыны}. G – сәйкестігінің қандай қасиеттері бар?
Шешуі: Егер G нақты сандар жиынында берілген сәйкестік (GRхR ) болса,онда:
1) G толық анықталмаған сәйкестік, себебі
G =[2,∞)R;
2) Сюръективті емес, себебі анықталу облысы G =R+=[0,∞] нөлмен қоса алғанда барлық нақты сандар жиыны.
3) Функционалды, себебі xG, G – анықталу облысынан алынған
әрбір х-ке бір ғана yG сәйкес (х-ң бір ғана образы бар).4) Өзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған және сюръективті емес.
2. G сәйкестігі нөлмен қоса алғандағы R + жиынында яғни G R+ R+ берілген болса, онда G сәйкестігінің төмендегідей қасиеттері болады:толық анықталмаған ,себебі G = [2, ) және G R+;
сюръективті, себебі анықталу облысы G = R+;
функциональды;
Өзара бір мәнді емес, себебі толық анықталмаған .
3. G сәйкестігі G [2, ) х R+ болса :
в толық анықталған;
сюръективті;
функциональды;
Өзара бір мәнді ,себебі алдыңғы аталған қасиеттерге қоса, анықталу облысынан алынған кез –келген yG үшін бір ғана прообраз бар.
Функциялар мен бейнелеулер
Айталық, А, В жиындарында f AхB сәйкестігі бар болсын. Анықтама Егер f=A, f=B және болғандығынан болса, онда сәйкестігі функция деп аталады ол f : AB немесе болып жазылады. Бұл анықтамадан функция дегеніміз функционал сәйкестік екендігін көреміз және f функциясының типі АВ деп оқылады . f функциясы анықталу облысының әрбір элементіне (х ) мәндер облысынан бір мәнді (у)сәйкестендіреді және у = f (х) болып белгіленеді. ) (х аргумент, у функцияның мәні) болып жазылады (у х-тың образы).Мысалдар: f={(1,2),(2,3),(3,2)} – функция; f={(1,2),(1,3),(2,3)} - функция емес; {(x,x2-2x+3), xR} – функция ; бұл функция әдетте y=x2=2x+3 болып жазылады.
Анықтама Толық анықталған функция f : AB А-ны В-ға іштей бейнелеу деп аталады.
f : A B ( f=A , f B) толық анықталған функция
Достарыңызбен бөлісу: |