§ 7. Инвариант ішкеңістіктер
Мысалдар. 1. Кез келген V векторлық кеңістігінің кез келген φ операторының екі мардымсыз (өзіндік емес) инвариант ішкеңістігі табылады: нөлдік ішкеңістік және V кеіңістігінің өзі, өйткені φ({}) {} және φ(V) V.
2. Нөлден өзгеше a векторына керілген L(a) ішкеңістігі инвариант кеңістік болсын. Ал L(a) кеңістігінің векторлары a векторына пропорционал болады. Сондықтан кейбір λ скалярына φ(a) = λa.
Керісінше, кейбір a векторына φ(a) = λa болса, онда a векторына керілген бір өлшемді L(a) ішкеңістігі φ операторының инвариант ішкеңістігі болады, өйткені L(a) ішкеңістігінің кез келген векторының түрі aa болады, ал φ(aa) = aφ(a) = a(λa) = λ(aa), яғни φ(aa) Î L(a).
3. Векторлық V кеңістігінің сызықтық операторы берілсін. Онда операторының ker ядросы және Im бейнесі операторының инвариант ішкеңістіктері болатынын көрсетуге болады.
4. Векторлық V кеңістігі U және W ішкеңістіктерінің тура қосындысы болсын: V = U W. Енді U ішкеңістігіне проекциялау операторын қарайық U: V V, c = a + b, a U, b W болғанда, U(c) = a. Онда U ішкеңістігі U операторының инвариант ішкеңістігі болады.
5. Нақты сандар өрісіндегі көпмүшелердің R[x] кеңістігінің дифференциалдау d операторын қарайық: d(f) = f, f R[x]. Онда дәрежелі n-нен аспайтын көпмүшелердің R[x]n ішкеңістігі дифференциалдау d операторының инвариант ішкеңістігі болады.
6. Егер векторлық V кеңістігінің екі және сызықтық оператор алмастырымды болса (яғни = болса), онда операторының ker ядросы және Im бейнесі операторының инвариант ішкеңістігі болады.
7. Жазықтықтағы векторлардың V2 кеңістігінің бұрышына бұрылу операторы берілсін, 0 < < . Егер осы оператордың өзіндік инвариант U ішкеңістігі болса, онда U – бірөлшемді ішкеңістік, яғни кейбір нормаланған a векторына U = {a | R}. Жасаушы a векторының координаталары (1, 0) болатындай базис табуға болады. Кез келген x U векторы кейбір скалярына x = a = (, 0). Енді y = (x) болсын. Онда кейбір скалярына y = a = (, 0). Екінші жағынан, = = . Осыдан = cos, 0 = sin. Ал sin 0, сондықтан = 0. Осыдан U = {}. Қайшылық. Сондықтан бұрышына бұрылу операторының 0 < < болғанда өзіндік инвариант ішкеңістігі болмайды.
§ 8. Өзіндік векторлар және өзіндік мәндер
Мысалдар. 1. Оператордың өзіндік мәнін табу мәселесі негізгі F өрісіне тәуелді. Мысалы, R2 кеңістігінің операторы стандарт e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) базисінде A = матрицасымен берілсін. Сипаттауыш | A – E | = = 2 + 2 + 2 көпмүшесінің нақты түбірі болмайды, сондықтан 4-теореманы қолдана алмаймыз.
Ал комплекс сандар өрісінде сипаттауыш көпмүшенің екі комплекс түбірі болады: 1 = 1 + i, 2 = 1 – i.
2. Нақты сандар өрісіндегі үшөлшемді кеңістіктің бір базисіндегі оператордың A = матрицасы берілсін. Оның өзіндік мәндерін және өзіндік векторларын табайық.
Матрицаның сипаттауыш теңдеуі = 0 болады. Осыдан (l – 2)3 = 0. Сондықтан сипаттауыш теңдеудің жалғыз l = 2 түбірі болады. Енді жүйені l = 2 мәніне жүйені шешейік: (A – 2E) = .
· = . Осы жүйенің фундаментальды жүйесін a1 = (1, 2, 0), a2 = (0, 0, 1) векторлары құрайды. Сондықтан өзіндік λ = 2 мәніне тиісті өзіндік екі вектор бар: a1 = (1, 2, 0), a2 = (0, 0, 1). Сонымен бірге, өзіндік λ = 2 мәніне тиісті өзіндік вектор a1, a2 векторларының кез келген сызықтық комбинациясы болады: a = a(1, 2, 0) + b(0, 0, 1) векторы болады, мұндағы a, b Î R. Оған қоса, оператордың инвариант ішкеңістігі a1, a2 векторларына керілген L(a1, a2) ішкеңістігі болады.
§ 9. Жай спектрлі сызықтық операторлар
Достарыңызбен бөлісу: |