Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік

жүктеу 28,2 Mb.

бет	37/47
Дата	08.03.2018
өлшемі	28,2 Mb.
	#11922

1 ... 33 34 35 36 37 38 39 40 ... 47

Мысалдар. 1. Кез келген векторлық кеңістіктің тепе-теңдік  операторының бейнесі V кеңістігі, ядросы нөлдік ішкеңістік болады: Im  = V, Ker  = {

}. Нөлдік оператордың бейнесі нөлдік ішкеңістік және ядросы V кеңістігі болады: Im  = {

}, Ker  = V.

2. Дәрежелері n-нен аспайтын көпмүшелердің R[x]_n кеңістігінің дифференциалдау d операторына Im d бейнесі (n – 1)-ден аспайтын көпмүшелердің R[x]_n_–1 ішкеңістігі, ал ядросы тұрақты көпмүшелердің ішкеңістігі болады: Im d = R[x]_n_–1, Ker d = R[x]₀.

3. Егер векторлық V кеңістігі U және W ішкеңістіктерінің тура қосындысы болса (V = U  W), онда U ішкеңістігіне проекциялау  операторының бейнесі U ішкеңістігі, ал ядросы W ішеңістігі болады: Im  = U, Ker  = W.

4. R⁴ кеңістігінің  операторы e₁, e₂, e₃, e₄ базисінде A_ =

матрицасымен берілсін. Оператордың бейнесінің және ядросының базистерін табайық.

Оператордың бейнесі (e₁), (e₂), (e₃), (e₄) векторларымен туындайды, олардың координаталық жолдары (1, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4), (2, 3, 5, 7), (3, 4, 7, 10) болады. Осы жүйенің рангі 2-ге тең және базисін (e₁), (e₂) векторлары құрайтынын көрсетуге болады. Сондықтан rang  = 2, Im  = L((e1), (e2), (e₃), (e₄) = L((e₁), (e₂)).

Енді оператордың ядросын табайық, атап айтқанда ядроның өлшемдігін және базисін. Белгісіз x векторының берілген базистегі координаталық жолы (x₁, x₂, x₃, x₄) болсын. Онда (x) =

теңдігі матрицалық түрде жазылады: A_ ·

немесе

түрінде. Соңғы теңдеуді ашса,

біртекті жүйеге келеміз. Осы жүйенің нөлден өзгеше шешімдері ядролық векторлардың берілген базистегі координаталық жолдарын береді. Жүйенің шешімдерінің фундаментальды жүйесін (базисін) a₁ = (–1, –1, 1, 0), a₂ = (–2, –1, 0, 1) векторлары құрайды. Сондықтан оператордың ядросының базисін a₁, a₂ векторлары құрайды: ker  = L(a₁, a₂). Ал rang  = 2, def  = 2.

§ 5. Сызықтық алгебралар

Мысалдар. 1. b Комплекс сандар С жиыны нақты сандар өрісіндегі векторлық кеңістік болады. Комплекс сандар өрісінде көбейту операциясы анықталған. Көбейтуге бисызықтық шарттары орындалады, сондықтан комплекс сандарының С жиыны нақты сандар өрісіндегі сызықтық алгебра болады және оның рангі 2-ге тең.

2. F өрісіндегі n-өлшемді квадрат матрицалардың M(n, F) жиыны n²-өлшемді векторлық кеңістік болады. 1-тарауда матрицалардың көбейтуі анықталған. 2.2.1-теорема бойынша, матрицалардың көбейтуіне бисызықтық шарттар орындалады. Сондықтан квадрат матрицалардың M(n, F) жиыны F өрісіндегі сызықтық алгебра болады. Оның рангі n².

Осы алгебра F өрісіндегі толық матрицалық алгебра деп аталады.

3. Кватерниондар K₄ = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d  R} жиыны нақты сандар өрісіндегі 4-өлшемді векторлық кеңістік құрайтыны көрсетілген. Кіріспеде кватерниондарды көбейтудің бисызықытық шарттары орындалатыны көрсетілген. Сондықтан кватерниондардың K₄ жиыны нақты сандар өрісіндегі сызықтық алгебра құрайды және оның рангі 4-ке тең.

4. Екі өлшемді

түріндегі матрицалардың K₂ жиынын қарайық, мұндағы a, b – нақты сандар: K₂ = {

| a, b  R }.

Ал K₂  M(2, R). Егер A, B  K₂ болса, онда A + B, AB, A  K₂. Сондықтан K₂ жиыны M₂(R) кеңістігінің ішкеңістігі болады және көбейту осы жиында алгебралық операция болады. Сонымен бірге, матрицалардың көбейтуіне бисызықтық шарттар орындалады. Сондықтан K₂ нақты сандар өрісіндегі сызықтық алгебра болады. Оның рангі 2-ге тең.

5. Төртөлшемді квадраттық нақты матрицалардың M₄(R) кеңістігінің

түріндегі матрицалардың L ішжиынын қарайық. Егер A, B  L матрицалары және  скаляры берілсе, онда A + B, A·B, A  L екенін көрсетуге болады. Сондықтан L жиыны сызықтық алгебра болады. Оның рангі 4-ке тең.

Мысалдар. 1. Нақты сандар өрісіндегі рангі 2-ге тең келесі екі алгебра изоморф: нақты сандар өрісіндегі комплекс сандардың C алгебрасы және

түріндегі матрицалардың K₂ = {

| a, b  R } алгебрасы. Мұнда Ф(a + bi) =

деп алу керек.

2. Нақты сандар өрісіндегі рангі 4-ке тең келесі екі алгебра изоморф: кватерниондардың K₄ = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d  R} алгебрасы және 4-өлшемді түріндегі

түріндегі матрицалардың L алгебрасы, мұндағы a, b, c, d  R.. Мұнда Ф(a + bi + cj + dk) =

деп алу керек.

§ 6. Керіленетін операторлар

жүктеу 28,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 33 34 35 36 37 38 39 40 ... 47