Қазақстан республикасының білім беру және ғылым министрлігі ш. Уәлиханов атындағы Кокшетау мемлекеттік
§ 2. Векторлардың сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі
жүктеу 28,2 Mb.
|
| § 2. Векторлардың сызықты тәуелділігі және тәуелсіздігі
F өрісіндегі векторлық V кеңістігі берілсін. Анықтама. Егер векторлардың a1, …, am жүйесіне λ1а1 + …+λmam =  теңдігі орындалатын кейбіреуі нөлден өзгеше λ1,…λm скалярлары табылса, онда a1, …, am жүйесі сызықты тәуелді деп аталады.
Егер векторлардың S жүйесінің кейбір ақырлы ішжүйесі сызықты тәуелді болса, онда S жүйесі сызықты тәуелді деп аталады. Анықтама. Векторлардың a1, …, am жүйесіне және λ1,…λm скалярлары үшін λ1а1 + …+λmam = теңдігінен λ1 = 0, …, λm = 0 теңдігі шықса, онда a1, …, am жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады.
Егер векторлардың S жүйесінің кез келген ақырлы ішжүйесі сызықты тәуелсіз болса, онда S жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады. I тарауда қаралған n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістікке қаралған ұғымдардың және қасиеттердің көбі кез келген векторлық кеңістікке де орындалады: векторлардың сызықты тәуелділігінің және тәуелсіздігінің қасиеттері, эквивалент векторлар жүйелерінің анықтамасы және қасиеттері, векторлардың ақырлы жүйесінің базисі және рангі т.с.с. § 3. Ішкеңістік. Векторлар жүйесінің сызықтық қабықшасы F өрісіндегі V векторлық кеңістігі берілсін. Анықтама. Егер V векторлық кеңістігінің U ішжиынына a) Егер a U және b U болса, онда a + b U; ә) Егер a U және F болса, онда a U шарттары орындалса, онда U жиыны V кеңістігінің ішкеңістігі деп аталады: Осы екі шарт орындалғанда, U ішжиыны сызықтық операцияларға қатысты тұйық болады дейді. Осыдан екі шарттан а1,…аm U векторларының кез келген сызықтық комбинациясы да U-ға тиісті болатыны шығады. Теорема 1. V векторлық кеңістігінің бос емес U ішжиыны берілсін. U ішжиыны V векторлық кеңістігінің сызықтық операцияларының тарылтуына қатысты векторлық кеңістік болғанда ғана, сонда U ішжиыны V кеңістігінің ішкеңістігі болады. Теорема 2. Егер U векторлық кеңістігі V векторлық кеңістігінің, W векторлық кеңістігі U векторлық кеңістігінің ішкеңістігі болса, онда W кеңістігі V кеңістігінің ішкеңістігі болады (ішкеңістік болу қатынасының транзитивтігі). Осы теорема бойынша, векторлық кеңістіктің ішкеңістіктері ішкеңістік болу қатынасы бойынша ішінара реттелген жиын болады. Анықтама. Векторлардың S жиынының сызықтық қабықшасы деп S жиынының векторларының сызықтық комбинацияларының жиыны аталады және L(S) деп белгіленеді: L(S) = {1a1 +…+ mam | a1,…, am S, 1, …, m F}. Егер S = {a1,…, am} болса, онда L(S) деп L(a1,…, am) белгіленеді. Теорема 3. F өрісіндегі векторлық кеңістіктің кез келген векторлардың жиынының сызықтық қабықшасы V кеңістігінің ішкеңістігі болады. Сөйтіп, векторлардың бос емес S жиынына L(S) қабықшасы V кеңістігінің ішкеңістігі болады. L(S) ішкеңістігі S жиынымен туындайтын ішкеңістік немесе S жиынына керілген ішкеңістік, ал S жиыны осы ішкеңістіктің жасаушылар жиыны деп аталады. § 4. Сызықтық көпбейнеліктер
1. a – b U болғанда, тек сонда ғана a + U = b + U. 2. a b + U болғанда, тек сонда ғана a + U = b + U. 3. a U болғанда, тек сонда ғана a + U = U. 4. Кез келген екі а + U және b + U көпбейнелік қиылыспайды немесе тең болады. § 5. Векторлық кеңістіктің базисі және өлшемдігі Анықтама. Егер V векторлық кеңістігі векторлардың S жиынының сызықтық қабықшасы болса, яғни, V = L(S) болса, онда V кеңістігін S жиыны туындайды (жасайды) дейді және S жиыны V кеңістігінің жасаушылар жиыны (жасаушылар жүйесі) деп аталады. Анықтама. Егер V векторлық кеңістігі векторлардың ақырлы жиынымен туындалса, онда ол ақырлы өлшемді кеңістік деп аталады. Анықтама. Векторлық кеңістіктің базисі деп V кеңістігін туындайтын бос емес сызықты тәуелсіз векторлар жиыны аталады. Теорема 1. Нөлдік емес векторлық V кеңістігінің B жиыны қатынасы бойынша максималь сызықты тәуелсіз жиын болғанда, тек сонда ғана B ішжиыны базис болады. Теорема 2. Нөлден өзгеше ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктің кез келген сызықты тәуелсіз жүйеcін кеңістіктің базисіне дейін толықтыруға болады. Теорема 3. Нөлден өзгеше векторлық кеңістіктің кем дегенде бір базисі табылады. Дәлелдеу. Нөлден өзгеше векторлық V кеңістігінің бір нөлден өзгеше а векторы табылады. Онда S = { а } сызықты тәуелсіз жиын. 2-теорема бойынша, S жиыны кеңістіктің кейбір C базисіне дейін толықтырылады. Теорема 4. Нөлден өзгеше ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктің бір базисіндегі векторлар саны екінші базисіндегі векторлардың санына тең. Анықтама. Векторлық V кеңістігінің өлшемдігі деп кеңістіктің базисіндегі векторлар саны аталады және dim(V) деп белгіленеді. Нөлдік векторлық кеңістіктің өлшемдігі 0-ге тең деп есептеледі. Теорема 5. (Базистің қасиеттері). 1. Егер векторлық V кеңістігінің өлшемдігі n болса, онда k > n болғанда V кеңістігінің кез келген k векторы сызықты тәуелді болады. 2. Егер векторлық V кеңістігінің өлшемдігі n болса, онда V кеңістігін туындайтын кез келген n сызықты тәуелсіз вектор кеңістіктің базисін құрайды. 3. Егер V кеңістігінің нөлден өзгеше U ішкеңістігі берілсе, онда U кеңістігінің базисі табылады және оның базисіндегі векторлар саны V кеңістігінің базисіндегі векторлар санынан аспайды. § 6. Вектордың берілген базистегі координаталық жолы F өрісіндегі V векторлық кеңістігінің e1,…, en базисі берілсін. Кез келген a V векторы базистік векторлардың сызықтық комбинациясы болады: a = 1e1 + 2e2 +…+ nen. i скаляры a векторының берілген базистегі координатасы, координаталардан құралған (1, 2, …, n) жолы x векторының e1,…, en базисіндегі координаталық жолы деп аталады. Кей кезде a векторының e1,…, en базисіндегі координаталық жолының орнына  координаталық бағаны қаралады. Сонда да біз бағанды (1, 2, …, n)T деп белгілейміз, мұндағы T белгісі аударылған матрицаның белгісі, яғни бұл жол емес, баған екенін көрсетеді.
Анықтама. F өрісіндегі векторлық V кеңістігінің екі базисі берілсін: e1,…, en (ескі) және e1,…, en (жаңа). Жаңа базистегі векторларды ескі базис арқылы өрнектейік: e1 = 11e1 +21e2 +...+ n1en e2 = 12e1 +22e2 +...+ n2en . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) en = 1ne1 +2ne2 +…+ nnen. Ескі базистен жаңа базиске көшу матрицасы деп T =  матрицасы аталады.
Мұнда T матрицасының k-бағаны ek векторының ескі базистегі координаталық бағаны болады. Теорема 1. T матрицасы керіленеді. Теорема 2. F өрісіндегі n-өлшемді векторлық V кеңістігі берілсін. V кеңістігінің екі базисі e1,…, en (ескі базис) және e1,…, en (жаңа базис), T = (ij) – ескі базистен жаңа базиске көшу матрицасы, (1, 2,…, n)T және (1, 2,…, n)T бағандары a векторының сәйкесінше ескі және жаңа базистеріндегі координаталық бағандары болсын. Онда (1, 2,…, n)T = Т×(1, 2,…, n)T (2) (1, 2,…, n) T = Т–1×(1, 2,…, n)T, (3), § 7. Векторлық кеңістіктердің қосындысы және тура қосындысы Анықтама. Векторлық V кеңістігінің U және W ішкеңістіктерінің қосындысы деп a = b + c түрінде келтірілетін векторлар жиыны аталады және U + W деп белгіленеді, мұндағы c U, b W: U + W = {a V | a = b + c, c U, b W }. Анықтама. V векторлық кеңістігінің U және W ішкеңістіктерінің қиылысуы деп U және W ішкеңістіктерінің екеуіне де тиісті векторлардың жиыны аталады және U W деп белгіленеді. Теорема 1. Векторлық V кеңістігінің ішкеңістіктерінің қосындысы мен қиылысыуы V кеңістігінің ішкеңістігі болады. Теорема 2. Векторлық V кеңістігінің кез келген U1, U2, U3 ішкеңістіктеріне келесі қасиеттер орындалады: а) U1 + (U2 + U3) – ассоциативтік; ә) U1 + U2 = U2 + U1 – коммутативтік; б) U1 (U2 U3) – ассоциативтік; в) U1 U2 = U2 U1 – коммутативтік; Ассоциативтік заңы орындалғандықтан ішкеңістіктердің қосындысында жақшаларды жазбауға да болады: U1 + U2 +…+ Um. Теорема 3. Векторлық V кеңістігінің U1, U2,…, Um ішкеңістіктері берілсін. Онда кез келген a U1 + U2 +…+ Um векторы a = a1 + a2 +…+ am түрінде келтіріледі мұндағы a1 U1, a2 U2,…, am Um. Анықтама. Егер векторлық V кеңістігінің U және W ішкеңістіктерінің U + W қосындысының кез келген a U + W векторы а = а1 + а2, мұндағы а1 U, а2 W, түрінде бірмәнді келтірілсе, онда U + W қосындысы тура қосынды деп аталады және U W деп белгіленеді. Басқа сөзбен айтқанда, егер кез келген а1, b1 U1, а2, b2 W векторларына а1 + а2 = b1 + b2 теңдігінен а1 = b1, a2 = b2 теңдіктері шықса, онда U + W қосындысы тура қосынды болады. Теорема 4. Векторлық V кеңістігінің U және W ішкеңістіктеріне U W = { } болғанда, сонда ғана олардың қосындысы тура қосынды болады.
Теорема 5. Векторлық V кеңістігінің U1, U2,…, Um ішкеңістіктерінің кез келген а1 U1,…, аm Um векторлары үшін а1 +…+ аm = теңдігінен а1 = ,…, am = теңдігі шықса, онда U1,…, Um ішкеңістіктерінің қосындысы тура қосынды болады.
Теорема 6. Егер ақырлы өлшемді векторлық V кеңістігі екі U және W ішкеңістіктерінің тура қосындысы болса, онда dim(V) = dim(U) + dim(W). (1) Теорема 7. Егер ақырлы өлшемді V векторлық кеңістігінің екі U және W ішкеңістіктері берілсе, онда dim(U + W) + dim (U W) = dimU +dim W немесе dim(U + W) = dimU +dim W – dim(U W). (1) § 8. Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі Анықтама. Векторлық кеңістіктердің : U V бейнелеуі берілсін. Егер бейнелеуі өзара бірмәнді және а) кез келген a, b U векторларына (a + b) = (a) + (b), ә) кез келген a U векторына және кез келген λ скалярына (λa) = λ(a) болса, онда бейнелеуі векторлық кеңістіктердің изоморфизмі, ал U және V кеңістіктері изоморф кеңістіктер аталады. Белгіленуі: U V. Егер векторлық : U V бейнелеуіне аталған екі шарт орындалса, онда бейнелеуі сызықтық операцияларды сақтайды дейді.
1. Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі эквиваленттік қатынас болады. 2. Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі нөлдік векторға нөлдік векторды сәйкес қояды. 3. Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі қарама-қарсы векторларға қарама-қарсы векторларды сәйкес қояды. 4. Векторлық кеңістіктердің изоморфизмі бір кеңістіктің базисін екінші кеңістіктің базисіне сәйкес қояды. 5. Екі ақырлы өлшемді векторлық кеңістіктің өлшемдіктері тең болғанда, тек сонда ғана олар изоморф болады. 6. F өрісіндегі кез келген n-өлшемді векторлық кеңістік n-өлшемді арифметикалық векторлық Fn кеңістігіне изоморф.
Векторлық кеңістіктің өзіне изоморфизм автоморфизм деп аталады. § 9. Скаляр көбейтіндісі бар векторлық кеңістік
а) кез келген a, b векторларына (a, b) = (b, a); ә) кез келген a, b c векторларына (a + b, c) = (a, c) + (b, c); б) кез келген a векторына және скалярына (a, b) = (a, b) болса, онда V векторлық кеңістігі скаляр көбейтіндісі бар кеңістік деп аталады. Мұндағы (a, b) скаляры a және b векторларының скаляр көбейтіндісі деп аталады. в) Егер a = болғанда ғана, сонда ғана (a, a) = 0 теңдігі орындалса, онда скаляр көбейтіндісі ерекше емес деп аталады.
Анықтама. Егер екі a мен b вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда a мен b векторлары ортогональ деп аталады және векторлардың ортогональдығы a b деп белгіленеді. Анықтама. Егер нөлден өзгеше векторлардың a1, a2,..., am жүйесіндегі кез келген екі вектор өзара ортогональ болса, онда a1, a2,..., am жүйесі ортогональ деп аталады, яғни i ≠ j болғанда ai aj. Теорема 1. Өзгеше емес скаляр көбейтіндісі бар векторлық кеңістікте нөлден өзгеше векторлардың ортогональ жүйесі сызықты тәуелсіз болады. Теорема 2. Өзгеше емес скаляр көбейтіндісі бар векторлық кеңістіктің кез келген нөлден өзгеше векторлардың ортогональ жүйесін кеңістіктің базисіне дейін толықтыруға болады. Теореманың дәлелдеуіндегі ортогональ a1, a2,..., am жүйесін ортогональ a1, a2,..., am, am+1 жүйесіне дейін кеңейту процесі (Грам-Шмидтің) ортогоналдау процесі деп аталады. Теорема 3. Өзгеше емес скаляр көбейтіндісі берілген нөлден өзгеше векторлық кеңістігінің ортогональ базисі табылады. § 10. Ішкеңістіктің ортогональ толықтауышы Өзгеше емес скаляр көбейтіндісі берілген нөлден өзгеше V векторлық кеңістігінің M ішжиыны берілсін.
1°. V = U U. 2°. (U) = U. 3°. dim V = dim U + dim U. 4°. Егер U W болса, онда W U. 5°. (U + W) = U W . 6°. (U W) = U + W . § 11. Евклид кеңістіктері Анықтама. Евклид кеңістігі деп нақты сандар R өрістіндегі оң анықталған скаляр көбейтіндісі берілген векторлық кеңістік аталады, яғни кез келген a және b векторларына және кез келген скалярына келесі қасиеттер орындалады: a) (a, a) ≥ 0, сонымен бірге (a, a) = 0 болғанда, тек сонда ғана a = .
b) (a, b) = (b, a); c) (a + b, c) = (a, c) + (b, c); d) (a, b) = (a, b). Еквклид кеңістігінде a векторының нормасы || a || = 
деп анықталады. Теорема 1. Кез келген Евклид кеңістігінде келесі қасиеттер орындалады: 1°. | (a, b) | ≤ || a || || b || – Коши-Буняковский теңсіздігі. 2°. || a + b || ≤ || a || + || b || – үшбұрыш теңсіздігі. 3°. Евклид кеңістігінің векторларының a1, a2,..., am – ортогональ жүйесі берілсін. Онда || a1 + a2 +...+ am ||2 = || a1 ||2 + || a2 ||2 +...+ || am ||2. Анықтама. Евклид кеңістігінің нормаланған векторы деп нормасы 1-ге тең вектор аталады. Евклид кеңістігінің кез келген нөлден өзгеше a векторын нормаландыруға болады. Ол үшін векторды нормасына бөлу керек: b =  a. Онда a векторын нормаландырудың нәтижесі нормаланған b векторы болады.
Мысалы, E3 кеңістігінің a = (1, 2, 2) векторының нормаланған векторы a = ( ,  , ) болады.
Анықтама. Евклид кеңістігінің векторларының ортонормал жүйесі деп нормаланған векторлардың ортогональ жүйесі аталады. Анықтама. Евклид кеңістігінің ортонормал базисі деп нормаланған векторлардан құралған ортогональ базис аталады. Теорема 3. Ақырлы өлшемді Евклид кеңістігінің векторларының кез келген ортонормал жүйесін кеңістіктің ортонормал базисіне дейін толықтыруға болады. Теорема 4. Ақырлы өлшемді Евклид кеңістігінің ортонормал базисі табылады. Теорема 5. Евклид кеңістігінің ортонормал e1,…, en базисі берілсін және a = 1e1 +… + nen болсын. Онда (a, ei) = i, мұндағы i = 1,…, n. Теорема 6. Евклид кеңістігінің ортонормал e1,…, en базисі берілсін және a = 1e1 +… + nen, b = 1e1 +… + nen болсын. Онда (a, b) = 11 +…+ 1n. § 12. Евклид кеңістіктерінің изоморфизмі Анықтама. Евклидтік кеңістіктерінің өзара бірмәнді : U V бейнелеуі берілсін. Егер a) кез келген a, b U векторлары үшін (a + b) = (a) + (b); b) кез a U векторы және кез келген скаляры үшін (a) = (a); с) кез келген a, b U векторлары үшін ((a), (b)) = (a, b) шарттары орындалса, онда бейнелеуі Евклид кеңістіктердің изоморфизмі деп аталады: Егер Евклид U және V кеңістіктері үшін : U V изоморфизмі табылса, онда U және V кеңістіктері изоморф деп аталады. Белгілеуі: U V. Теорема 1. (Евклид кеңістіктерінің изоморфизмдерінің қасиеттері). 1. Евклид кеңістіктерінің изоморфизмі эквивалентік қатынас болады. 2. Евклид кеңістіктерінің : U V – изоморфизмі, U кеңістігінің ортонормал e1,…, en базисі берілсін. Онда (e1),…, (en) векторлары V кеңістігінің базисін құрайды. Басқа сөзбен айтқанда, Евклид кеңістіктерінің изоморфизмі ортонормал базисті ортонормал базиске ауыстырады. 3. Кез келген n-өлшемді Евклид кеңістігі стандарт Евклид Rn кеңістігіне изоморф болады. 4. Екі ақырлы өлшемді Евклид кеңістігі изоморф, сонда тек сонда ғана олардың өлшемдігі тең. IV-тарау. Сызықтық операторлар § 1 Векторлық кеңістіктердің сызықтық бейнелеулері
а) (а + b) = (а) + (b), ә) (lа) = l(а) болса, онда бейнелеуі U кеңістігінен V кеңістігіне сызықтық бейнелеу деп аталады. Анықтамадағы (а) V векторы а U векторының бейнесі, а векторы (а) векторының түпбейнесі деп аталады. Осы екі шарт орындалғанда бейнелеуі сызықтық операцияларды сақтайды дейді. Егер векторлық кеністіктердің : U V сызықтық бейнелеуі a U векторына b V векторын сәйкес қойса, онда ол b = (a) деп жазылады және b векторы a векторының бейнесі, a векторы b векторының түпбейнесі деп аталады. Егер векторлық кеністіктердің : U V сызықтық бейнелеуі берілсе, онда кез келген а1, а2 , …, аm U векторларына және кез келген l1, l2 , …, lm скалярларына j(l1а1 + l2а2 +…+ lmаm) = l1j(а1) + l2j(а2) +…+ lmj(аm). яғни сызықтық бейнелеу сызықтық комбинацияны сақтайды. Бұл сызықтық бейнелеудің анықтамасынан шығады. U кеңістігінен V кеңістігіне сызықтық бейнелеулердің жиыны Hom(U, V) деп белгіленеді. Анықтама. Векторлық V кеңістігінің өзіне сызықтық бейнелеуі V кеңістігінің сызықтық операторы деп аталады. V кеңістігінің сызықтық операторлар жиыны End(V) деп белгіленеді. Тепе-теңдік (бірлік) оператор кез келген векторға өзін сәйкес қояды: (a) = a. Нөлдік оператор кез келген векторға нөлдік векторды сәйкес қояды: (a) = .
Осы екі оператор мардымсыз операторлар, басқа операторлар мардымды операторлар деп аталады. Теорема 1. F өрісіндегі U кеңістігінің e1, e2,…, en базисі және V кеңістігінің с1, с2,…, сn векторлары берілсін. Онда j(e1) = c1, j(e2) = c2,…, j(en) = cn болатындай j: U ® V сызықтық бейнелеуі бірмәнді табылады. § 2. Сызықтық оператордың матрицасы F өрісіндегі векторлық n-өлшемді V кеңістігі, оның e1, e2,..., en базисі және кеңістіктің j сызықтық операторы берілсін. j(e1), j(e2),…, j(en) векторларын базистік векторлар арқылы өрнектейік: j(e1) = 11e1 + 21e2 +…+ n1en, j(e2) = 12e1 + 22e2 +…+ n1en, . . . . . . . . . . . . . . . . . j(en) = 1ne1 + 2ne2 +…+ nnen, Анықтама. k–бағаны j(ek) векторының e1, e2,..., en базисіндегі координаталық бағаны болатын Aj матрицасы j операторының берілген базистегі матрицасы деп аталады. Теорема 1. Векторлық V кеңістігінің сызықтық j операторының e1, e2,..., en базисіндегі матрицасы Aj және (1,…, n)T мен (1,…, n)T берілген базистегі a және j(a) векторларының координаталық бағандары болсын. Онда (1,…, n)T = Aj(1,…, n)T. Теорема 2. F өрісіндегі n-өлшемді векторлық V кеңістігі, оның e1, e2,..., en базисі және n-өлшемді квадрат A = (ij) матрицасы берілсін. Онда берілген базистегі матрицасы A болатын V кеңістігінің сызықтық операторы бірмәнді табылады. § 3. Сызықтық оператордың әртүрлі базистердегі матрицаларының арасындағы байланыс Теорема 1. Векторлық V кеңістігінің φ сызықтық операторының (ескі) e1, e2,..., en және (жаңа) e1, e2,..., en базистеріндегі матрицалары Aφ және Aφ және ескі базистен жаңа базиске көшу матрицасы Т болсын. Онда Aφ = T–1× Aφ×Т. Анықтама. Егер F-өрісіндегі n-өлшемді квадрат А және В матрицаларына кейбір керіленетін Т матрицасына А = Т–1×В×Т теңдігі орындалса, онда А және В ұқсас матрицалар деп аталады. § 4. Сызықтық оператордың ядросы және бейнесі Анықтама. Векторлық V кеңістігінің j сызықтық операторының ядросы деп нөлдік вектордың түпбейнелерінің жиыны аталады және Ker j деп бегіленеді: Ker j = { a V | j (a) =  }.
Бейнелердің жиыны оператордың бейнесі деп аталады және Im j деп белгіленеді: Im j = {j (a) | a V}. Теорема 1. Векторлық V кеңістігінің сызықтық операторының ядросы мен бейнесі V кеңістігінің ішкеңістігі болады. Анықтама. j сызықтық операторының ядросының өлшемдігі оператордың ақаулығы деп аталады және def(j) деп белгіленеді, j операторының бейнесінің өлшемдігі оператордың рангі деп аталады және rang(j) деп белгіленеді. Сонымен, def(j) = dim(Ker j),rang(j)= dim(Im j). Теорема 2. Ақырлы өлшемді векторлық кеңістігінің операторының рангі оператордың матрицасының рангіне тең. Теорема 3. Векторлық V кеңістігінің j сызықтық операторы берілсін. Онда rang j + def(j ) = dim(V). § 5. Сызықтық алгебралар Анықтама. F өрісіндегі сызықтық алгебра деп векторлардың көбейту операциясы анықталған және а) кез келген a, b, c векторларына (a + b)c = ac + bc, c(a + b) = ca + cb; ә) кез келген a, b векторларына және кез келген λ скалярына λ(ab) = (λa)b = a(λb) шарттары орындалатын векторлық кеңістік аталады. Осы екі шарт көбейтудің бисызықтығы деп аталады. Сызықтық алгебраның рангі деп оның өлшемдігі аталады. Анықтама. F өрісіндегі векторлық V кеңістігінің φ және ψ сызықтық операторлары берілсін. а) Операторлардың j + y қосындысы кез келген a векторына (j + y)(a) = j(a) + y (a) деп анықталады. ә) l скалярына lj операторы кез келген a векторына (lj)(x) = lj(x) деп анықталады.
2. Сызықтық операторды скалярға көбейткенде сызықтық оператор шығады. Теорема 2. F өрісіндегі V векторлық кеңістігінің сызықтық операторларының End(V) жиыны F өрісіндегі векторлық кеңістік құрайды. Анықтама. F өрісіндегі векторлық V кеңістігінің екі φ және ψ сызықтық оператор бейнелеу болады, сондықтан олардың φ ψ композициясын қарауға болады, атап айтқанда, кез келген a векторына (φ · ψ)(a) = ψ(φ(a)) деп алынады. Теорема 3. Векторлық кеңістіктің екі операторының композициясы сызықтық оператор болады. Теорема 4. F өрісіндегі V векторлық кеңістігінің сызықтық операторларының End(V) жиыны сызықтық алгебра болады. End(V) алгебрасы V кеңістігінің сызықтық операторларының алгебрасы деп аталады. Анықтама. Егер F өрісіндегі сызықтық U және W алгебраларының Ф: U W бейнелеуіне кез келген a, b векторларына және λ скалярына а) Ф(a + b) = Ф(a) + Ф(b), ә) Ф(λа) = λФ(а), б) Ф(a · b) = Ф(a)·Ф(b) болса, онда Ф бейнелеуі U алгебрасынан W алгебрасына изоморфизм деп аталады. Бұл жағдайда U және W изоморф алгебралар деп аталады. Белгілеу: U W. Теорема 5. F өрісіндегі сызықтық алгебралардың изоморфизмі эквиваленттік қатынас болады. Теорема 6. F өрісіндегі n-өлшемді V векторлық кеңістігінің кейбір базисі берілсін. Кеңістіктің кез келген операторына берілген базистегі A матрицасын сәйкес қоятын Ф бейнелеуі сызықтық операторлардың End(V) алгебрасынан толық матрицалық M(n, F) алгебрасына изоморфизм болады. § 6. Керіленетін операторлар Векторлық V кеңістігінің тепе-теңдік операторы e болсын, яғни кез келген a векторына e(a) = a.
1) керіленеді; 2) – өзара-бірмәнді оператор; 3) ker() = {  };
4) def() = 0; 5) rang() = dim(V); 6) V кеңістігінің кез келген базисінде операторының матрицасы керіленеді. жүктеу 28,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
рсетілетін қызмет
халықаралық қаржы
Астана халықаралық
қызмет регламенті
бекіту туралы
туралы ережені
орталығы туралы
субсидиялау мемлекеттік
кеңес туралы
ніндегі кеңес
орталығын басқару
қаржы орталығын
қаржы орталығы
құрамын бекіту
неркәсіптік кешен
міндетті құпия
болуына ерікті
тексерілу мемлекеттік
медициналық тексерілу
құпия медициналық
ерікті анонимді
Бастауыш тәлім
қатысуға жолдамалар
қызметшілері арасындағы
академиялық демалыс
алушыларға академиялық
білім алушыларға
ұйымдарында білім
туралы хабарландыру
конкурс туралы
мемлекеттік қызметшілері
мемлекеттік әкімшілік
органдардың мемлекеттік
мемлекеттік органдардың
барлық мемлекеттік
арналған барлық
орналасуға арналған
лауазымына орналасуға
әкімшілік лауазымына
инфекцияның болуына
жәрдемдесудің белсенді
шараларына қатысуға
саласындағы дайындаушы
ленген қосылған
шегінде бюджетке
салығы шегінде
есептелген қосылған
ұйымдарға есептелген
дайындаушы ұйымдарға
кешен саласындағы
сомасын субсидиялау