I-Тарау. Сызықтық теңдеулер жүйелері
§ 1. Арифметикалық векторлық кеңістік
Скаляр деп кез келген өрістің элементі аталады, айталық нақты сандар R өрісінің, рационал сандар Q өрісінің немесе тағы басқа өрістің. Скалярлар кіші грек әріптерімен белгіленеді: , , 1 …
Анықтама. F өрісіндегі n-өлшемді арифметикалық вектор деп n скалярдан құралған (α1, α2, …, αn) тізбегі аталады. Барлық n-өлшемді векторлардың жиыны n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістік деп аталады және Fn деп белгіленеді:
Fn = {(α1, α2, …, αn) | i F }.
Векторлар кіші латын әріптерімен белгіленеді: a, b, x, y1,....
n-өлшемді вектор жол түрінде:
a = (α1, α2, …, αn).
немесе баған түрінде:
a = .
жазылады. Қалай жазылса да i скаляры a векторының i-координатасы деп аталады, i = 1, 2,…, n.
Барлық координаталары нөлге тең вектор нөлдік вектор деп аталады және  деп белгіленеді: = (0, 0,…, 0).
n-өлшемді арифметикалық кеңістігінің бірлік векторлары деп e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, …, 0), ..., en = (0, 0,…, 1) векторлары аталады.
Егер a = (α1, α2, …, αn) және b = (β1, β2, …, βn) векторларына α1 = β1, α2 = β2,…, αn = βn болса, онда a және b векторлары тең деп аталады (сәйкес координаталары тең болса).
Берілген a және b векторларының қосындысы:
a + b = (α1 + β1, α2 + β2, …, αn + βn),
деп анықталады (сәйкес координаталары қосылады).
Мысалы, a = (1, –3, 5, 2), b = (4, 6, –3, 1) R4 векторларына a + b = (1 + 4, –3 + 6, 5 – 3, 2 + 1) = (5, 3, 2, 3).
Берілген a = (α1, α2, …, αn) векторын скалярына көбейту:
λ(α1, α2, …, αn) = (λα1, λα2, …, λαn),
деп анықталады (вектордың әрбір координатасы -ға көбейтіледі).
Мысалы, a = (1, –4, 5, 3) R4 векторына 5a = (5, –20, 25, 15).
Теорема 1. n-өлшемді арифметикалық векторлық кеңістігінің векторларына келесі қасиеттер орындалады:
1. Кез келген a, b, c векторларына (a + b) + c = a + (b + c) – ассоциативтік заң.
2. Кеңістіктің барлық a векторларына  + a = a + = a болатындай векторы табылады – нөлдік вектордың қасиеті.
3. Кез келген a векторына a + b = b + a = болатындай b векторы табылады – қарама-қарсы вектордың табылатындығы.
4. Кез келген a, b векторларына a + b = b + a – коммутативтік заң.
5. Кез келген α, β скалярларына және кез келген a векторына (αβ)a = α(βa).
6. Кез келген α скалярына және кез келген a, b векторларына α(a + b) = αa + αb.
7. Кез келген α, β скалярларына және кез келген a векторына (α + β)a = αa + βa.
8. Кез келген a векторына 1 a = a.
Осы сегіз шарт векторлық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.
§ 2. Матрицаны сатылы түрге келтіру
Анықтама. Матрица немесе mn-матрица деп
А =  ,
түріндегі αik скалярларынан құралған кесте аталады, мүндағы αik скалярлары матрицаның элементері деп аталады. Ал αik белгілеуінде бірінші i индексі (көрсеткіші) жолдың, екінші j индексі бағанның нөмірін көрсетеді және αik элементі “альфа и–жи” деп оқылады, мысалы, α34 – “альфа отыз төрт” емес, “альфа үш–төрт”, α3,12 – “альфа үш–он екі” деп оқылады.
Егер А = матрицасының жолдарын бағандарға ауыстырғаннан кейін шыққан AT =  матрицасы А матрицасына қатысты аударылған матрица деп аталады.
Мысалы, A =  болса, онда AT =  .
Берілген А матрицасының жолдары n-өлшемді векторлар, ал бағандары m-өлшемді векторлар болады. Сондықтан матрицаның жолдарына (бағандарына) n-өлшемді (m-өлшемді) векторларға қатысты ұғымдарды және қасиеттерді қолдануға болады.
Матрицаның жолдары және бағандары былай белгіленеді: i-жолы
Ai = (αi1, …., αin)
деп, k-бағаны
Ak =  немесе Ak = (1k, 2k,…, nk)T
деп. Мүнда T аударылған матрицаның белгісі, яғни жолда жазылған векторды бағанда жазылғанын түсіну керек.
Матрицада бір жол немесе бір баған бола алады, мысалы 1n-өлшемді матрица бір жол мен n бағаннан құралады:
A = (α1, α2, …, αn).
Ал n1-өлшемді матрица бір бағаннан құралады:
A =  .
Жолдарының саны бағандардың санына тең матрица квадрат матрица деп аталады:
 .
Квадрат матрицада жолдың нөмірі бағанның нөміріне тең элемент, ii элементі, диагональ элементі деп аталады. Диагональдан тыс элементтері нөлге тең матрица диагональ матрица деп аталады:
 .
Бірлік матрица деп диагональда 1-лер, қалған орындарда нөлдер тұратын квадрат матрица аталады:
En =  .
Анықтама. Матрицаның нөлден өзгеше жолының жетекші элементі бірінші нөлден өзгеше элементі аталады (сол жақтан оңға қарай есептегенде).
Матрицаның екі жолындағы ik және jr, i j, элементтері үшін k < r болса, онда ik элементі jr элементінің алдында (немесе сол жағында) тұрады дейміз, яғни ik элементінің бағаны jr элементінің бағанының алдында тұрса. Мысалы,  матрицасында 22 элементі 13 және 14 элементерінің алдында тұрады.
Достарыңызбен бөлісу: |
